호몰로지 차원 문서 원본 보기

[[환론]]과 [[호몰로지 대수학]]에서 '''호몰로지 차원'''(homology次元, {{llang|en|homological dimension}})은 [[환 (수학)|환]] 및 그 [[가군]] 위에 정의될 수 있는 일련의 정수 값 차원들이다.

== 정의 ==
아래 정의에서, 항상
:<math>\sup\varnothing=-\infty</math>
:<math>\inf\varnothing=+\infty</math>
로 놓는다.

=== 함자의 차원 ===
두 [[아벨 범주]] <math>\mathcal A</math>, <math>\mathcal B</math> 사이의 [[가법 함자]]
:<math>F\colon\mathcal A\to\mathcal B</math>
가 주어졌다고 하자.

만약 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]일 때, <math>F</math>의 '''코호몰로지 차원'''(cohomology次元, {{llang|en|cohomological dimension}})은 다음과 같다.<ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|394, Definition 10.5.10}}
:<math>\operatorname{cohd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname R^nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}</math>
여기서 <math>\operatorname R^n</math>은 <math>n</math>차 [[오른쪽 유도 함자]]를 뜻한다.
만약 <math>F=0</math>이라면 <math>\operatorname{cohd}F=-\infty</math>이다.

만약 <math>\mathcal A</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]일 때, <math>F</math>의 '''호몰로지 차원'''(homology次元,{{llang|en|homological dimension}})은 다음과 같다.<ref name="Weibel"/>{{rp|394, Definition 10.5.10}}
:<math>\operatorname{hd}F=\sup\{n\in\mathbb N\colon\operatorname L_nF(A)=0\qquad\forall A\in\mathcal A\}\in\mathbb N\sqcup\{-\infty,+\infty\}</math>
여기서 <math>\operatorname L_n</math>은 <math>n</math>차 [[왼쪽 유도 함자]]를 뜻한다.
만약 <math>F=0</math>이라면 <math>\operatorname{hd}F=-\infty</math>이다.

=== 아벨 범주의 대상(가군)의 차원 ===
[[Ext 함자]] 및 [[Tor 함자]]는 [[유도 함자]]의 특수한 경우이다. 이들을 사용하여, [[아벨 범주]]의 대상에 대하여 여러 차원들을 정의할 수 있다.

==== 사영 차원 ====
[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>M\in\mathcal A</math>의 '''사영 차원'''(射影次元, {{llang|en|projective dimension}})
:<math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}M\in\mathbb Z^+\cup\{0,-\infty,+\infty\}</math>
은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\sup_{N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}</math>
여기서 <math>\sup_{N\in\mathcal C}</math>은 모든 대상 <math>N\in\mathcal A</math>에 대한 [[상한]]이며, <math>\operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}</math>는 [[Ext 함자]]이다.
만약 <math>\mathcal A</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
* <math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}M</math>은 <math>M</math>의 [[사영 분해]]({{llang|en|projective resolution}}) <math>0\to P_n\to P_{n-1}\to\cdots\to P_0\to M\to0</math> 의 길이 <math>n</math>들의 [[하한]]이다.
* <math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}M=\operatorname{cohd}\hom_{\mathcal C}(M,-)</math>
특히, [[영 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>의 사영 차원은 <math>-\infty</math>이다.

==== 단사 차원 ====
[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>의 대상 <math>N\in\mathcal A</math>의 '''단사 차원'''(單射次元, {{llang|en|injective dimension}})
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}N\in\mathbb Z^+\cup\{0,-\infty,+\infty\}</math>
은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{id}_{\mathcal C}N=\sup_{M\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}</math>

만약 <math>\mathcal A</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 이는 다음과 같이 정의할 수도 있다.
* <math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}N</math>은 <math>M</math>의 [[단사 분해]]({{llang|en|injective resolution}}) <math>0\rightarrow Q_n\rightarrow Q_{n-1}\rightarrow\cdots\rightarrow Q_0\rightarrow N\to0</math>의 길이 <math>n</math>들의 [[하한]]이다.
* <math>\operatorname{pd}_{\mathcal C}N=\operatorname{hd}\hom_{\mathcal C}(-,N)</math>
특히, [[영 대상]] <math>0\in\mathcal C</math>의 단사 차원은 <math>-\infty</math>이다.

==== 평탄 차원 ====
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[오른쪽 가군]] <math>M_R</math>의 '''평탄 차원'''(平坦次元, {{llang|en|flat dimension}}) 또는 '''약한 차원'''(弱-次元, {{llang|en|weak dimension}})은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{fd}_R M = \sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}</math>
마찬가지로, <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>_RN</math>의 '''평탄 차원''' 또는 '''약한 차원'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{fd}_R N = \sup_{M\in\operatorname{Mod}_R}\{\operatorname{Tor}_n^R(M,N) \ne 0\}</math>
이는 <math>M</math> 또는 <math>N</math>의, [[평탄 가군]]으로 구성된 분해의 길이들의 하한과 같다.

=== 아벨 범주(환)의 차원 ===
[[아벨 범주]] <math>\mathcal C</math>의 '''대역 차원'''(大域次元, {{llang|en|global dimension}}) <math>\operatorname{gd}\mathcal C</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M,N\in\mathcal C}\{n\colon \operatorname{Ext}^n_{\mathcal C}(M,N)\ne0\}
=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(M,-))
=\sup_{N\in\mathcal C}\operatorname{cohd}(\hom_{\mathcal C}(-,N))
</math>
만약 <math>\mathcal C</math>가 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 이는 단사 차원의 상한과 같다.
:<math>\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{id}_RM</math>
만약 <math>\mathcal C</math>가 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]라면, 이는 사영 차원의 상한과 같다.
:<math>\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\mathcal C}\operatorname{pd}_RM</math>

[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>R\text{-Mod}</math>는 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이며 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이다. 또한, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 왼쪽 [[유한 생성 가군]]들의 [[아벨 범주]] <math>R\text{-fgMod}</math>는 [[사영 대상을 충분히 가지는 범주]]이다. (그러나 이는 일반적으로 [[단사 대상을 충분히 가지는 범주]]이다.) 이 두 아벨 범주의 대역 차원은 일치하며, 이를
<math>R</math>의 '''왼쪽 대역 차원'''({{llang|en|left global dimension}})이라고 한다.
:<math>\operatorname{gd_L}R=\operatorname{gd}R\text{-Mod}=\operatorname{gd}R\text{-fgMod}</math>
마찬가지로, (유한 생성) [[오른쪽 가군]]들의 [[아벨 범주]]의 차원을 <math>R</math>의 '''오른쪽 대역 차원'''({{llang|en|right global dimension}}이라고 한다.
:<math>\operatorname{gd_R}R=\operatorname{gd}\text{Mod-}R=\operatorname{gd}\text{fgMod-}R=\operatorname{gd_L}R^{\operatorname{op}}</math>
[[가환환]]의 경우 물론 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 일치한다. (비가환) (양쪽) [[뇌터 환]]의 경우 왼쪽 대역 차원과 오른쪽 대역 차원이 서로 일치한다. 그러나 이는 일반적인 비가환환에 대하여 성립하지 않는다.

[[환 (수학)|환]] <math>R</math>의 '''평탄 대역 차원'''(平坦大域次元, {{llang|en|flat global dimension}}) 또는 '''약한 대역 차원'''(弱-大域次元, {{llang|en|weak global dimension}}) <math>\operatorname{wgd}\mathcal C</math>는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{gd}\mathcal C=\sup_{M\in\operatorname{Mod}_R,\,N\in{}_R\operatorname{Mod}}\{n\colon \operatorname{Tor}_n^K(M,N)\ne0\}
=\sup_{N\in{}_R\operatorname{Mod}}\operatorname{hd}(\otimes N)
</math>
여기서 <math>\otimes N\colon \operatorname{Mod}_R\to \operatorname{Ab}</math>는 [[텐서곱]] 함자이다.

이 개념들 사이의 관계는 다음과 같다.

{| class=wikitable style="text-align: center"
!가군의 차원
| 사영 차원 || 단사 차원 || 평탄 차원
|-
! 차원을 계산하는 가군 분해
| [[사영 가군]] 분해 || [[단사 가군]] 분해 || [[평탄 가군]] 분해
|-
! 대응하는 대역 차원
| colspan=2 | 대역 차원 || 평탄 대역 차원
|-
! 함자
| <math>\hom(M,-)</math> || <math>\hom(-,M)</math> || <math>\otimes M</math>
|-
! [[유도 함자]]
| colspan=2 | [[Ext 함자]] || [[Tor 함자]]
|}

== 성질 ==
=== 대역 차원 ===
<math>R</math>가 ([[가환환]]이 아닐 수 있는) [[뇌터 환]]이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{gd_L}R = \operatorname{gd_R}R = \operatorname{fd}R</math>

<math>R</math>가 [[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]]이며, 그 [[극대 아이디얼]]이 <math>\mathfrak m</math>이라면, 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname{gd}R=\operatorname{pd}R/\mathfrak m</math>

[[가환환|가환]] [[뇌터 환|뇌터]] [[국소환]] <math>R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 대역 차원이 유한하다.
* [[정칙 국소환]]이다.
또한, 가환 뇌터 정칙 국소환의 경우 대역 차원은 [[크룰 차원]]과 같다.

=== 오슬랜더-북스바움 공식 ===
{{본문|가군의 깊이}}
<math>R</math>가 가환 뇌터 [[국소환]]이며, 그 극대 아이디얼이 <math>\mathfrak m</math>이며, <math>M</math>이 <math>R</math> 위의 유한 생성 아이디얼이며, 그 사영 차원이 유한하다고 하자. 그렇다면, 사영 차원과 [[가군의 깊이]] 사이에는 다음이 성립한다 ('''오슬랜더-북스바움 공식''' {{llang|en|Auslander–Buchsbaum formula}}).<ref>{{저널 인용 | last1=Auslander | first1=Maurice | last2=Buchsbaum | first2=David Alvin | 저자링크2=데이비드 북스바움 | title=Homological dimension in local rings | jstor=1992937 | mr=0086822 | year=1957 | journal=Transactions of the American Mathematical Society | issn=0002-9947 | volume=85 | pages=390–405|언어=en}}</ref>{{rp|Theorem 3.7}}
:<math>\operatorname{pd}_RM+\operatorname{depth}_{\mathfrak m}M=\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R</math>

== 예 ==
=== 체 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 가군은 [[벡터 공간]] <math>V</math>이며, 이 경우 모든 가군이 [[단사 가군]]이자 [[사영 가군]]이다. 따라서, 양의 차원의 모든 벡터 공간의 사영 차원 · 단사 차원 · 평탄 차원이 0이다.
:<math>\operatorname{pd}_KV=\operatorname{id}_KV=\operatorname{fd}_KV=\begin{cases}
0& V \ne 0\\
-\infty & V = 0
\end{cases}</math>
따라서, 체의 대역 차원과 평탄 대역 차원은 항상 0이다.
:<math>\operatorname{gd}K=\operatorname{fgd}K=0</math>
체는 가환 [[뇌터 환|뇌터]] [[정칙 국소환]]이므로, 체의 [[크룰 차원]] 역시 0이다. (이는 체의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]]이 [[한원소 공간]]이므로 자명하게 알 수 있다.)

=== 주 아이디얼 정역 ===
<math>R</math>가 [[주 아이디얼 정역]]이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 정리가 성립한다.
* [[주 아이디얼 정역]] 위의 [[자유 가군]]의 [[부분 가군]]은 항상 [[자유 가군]]이다.
*:따라서, 임의의 <math>R</math>-[[가군]] <math>M</math>은 <math>M=F/G</math>와 같은 꼴(<math>F</math>와 <math>G</math>는 [[자유 가군]])로 표현될 수 있다.
* [[주 아이디얼 정역]] 위의 모든 [[사영 가군]]은 [[자유 가군]]이다. (이는 [[유한 생성 가군]] 조건이 없이도 성립한다.)

이에 따라, [[주 아이디얼 정역]] 위의 [[가군]] <math>M</math>의 사영 차원과 평탄 차원은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! !! 사영 차원 <Math>\operatorname{pd}_RM</math> !! 평탄 차원 <math>\operatorname{fd}_RM</math>
|-
| [[영가군]] <math>0</math>
| −∞ || −∞
|-
| [[영가군]]이 아닌 [[자유 가군]]
| 0 || 0
|-
| [[자유 가군]]이 아닌 [[평탄 가군]]
| 1 || 0
|-
| [[평탄 가군]]이 아닌 [[가군]]
| 1 || 1
|}
특히, [[체 (수학)|체]]가 아닌 [[주 아이디얼 정역]]의 대역 차원은 1이다.

[[정수|정수환]] <math>\mathbb Z</math> 위의 가군은 [[아벨 군]] <math>G</math>이다. 정수환 위의 [[사영 가군]] 및 [[평탄 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이며, 정수환 위의 [[단사 가군]]은 [[나눗셈군]]이다.

마찬가지로, 대역 차원이 1이므로, [[주 아이디얼 정역]] 위의 모든 가군의 단사 차원은 다음과 같다.
{| class=wikitable style="text-align: center"
! !! 단사 차원 <math>\operatorname{id}_RM</math>
|-
| [[영가군]] || −∞
|-
| [[영가군]]이 아닌 [[단사 가군]] || 0
|-
| [[단사 가군]]이 아닌 [[가군]] || 1
|}

=== 자명환 ===
[[자명환]] <math>0</math> 위의 모든 가군은 [[자명군]]이다. 따라서, 그 대역 차원과 평탄 대역 차원은 <math>-\infty</math>이다.

=== 다항식환 ===
'''힐베르트 삭망 정리'''(Hilbert朔望定理, {{llang|en|Hilbert’s syzygy theorem}})에 따르면, <math>R</math>가 [[뇌터 가환환]]이며, 그 대역 차원이 유한하다면, <math>\operatorname{gd}R[x]=\operatorname{gd}R+1</math>이다.

뇌터 가환환 위의 [[다항식환]]은 물론 뇌터 가환환이므로, 이를 반복하면 다음을 얻는다.
:<math>\operatorname{gd}R[x_1,x_2,\dotsc,x_n] = \operatorname{gd}R+n</math>

특히, [[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[다항식환]] <math>K[x_1,\dots,x_n]</math>의 대역 차원은 <math>n</math>이다. 또한, 이 경우, 모든 가군은 길이 <math>n</math> 이하의 [[자유 가군]]으로 구성된 사영 분해를 갖는다.

== 역사 ==
힐베르트 삭망 정리는 [[체 (수학)|체]]의 경우 [[다비트 힐베르트]]가 1890년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=David|성=Hilbert|저자링크=다비트 힐베르트|제목=Ueber die Theorie der algebraischen Formen|저널=Mathematische Annalen|권=36|쪽=473–530|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002252570|언어=en}}</ref>{{rp|492, Theorem Ⅲ}}

== 각주 ==
{{각주}}
* {{웹 인용|url=http://www.ams.org/notices/200604/what-is.pdf | 제목=What is … a syzygy? | 이름=Roger | 성=Wiegand | 날짜=2006-04 | 권=53 | 호=4 | 저널=Notices of the American Mathematical Society | 쪽=456–457 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Homological dimension}}
* {{nlab|title=Global dimension theorem|id=global dimension theorem}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/37740/projective-dimension-of-zero-module|제목=Projective dimension of zero module|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://commalg.subwiki.org/wiki/Hilbert_syzygy_theorem | 제목=Hilbert syzygy theorem | 웹사이트=Commalg| 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://tlovering.wordpress.com/2012/10/24/hilberts-syzygy-theorem-isnt-very-hard-to-prove/ | 제목=Hilbert’s syzygy theorem isn’t very hard to prove | 이름=Tom | 성=Lovering | 웹사이트=Tom Lovering’s blog | 날짜=2012-10-24 | 언어=en }}

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:가군론]]
[[분류:호몰로지 대수학]]
[[분류:차원]]