호지-라플라스 연산자 문서 원본 보기

[[미분기하학]]에서 '''호지-라플라스 연산자'''(Hodge-Laplace演算子, {{Llang|en|Hodge–Laplace operator}}) 또는 '''호지-드람 라플라스 연산자'''(Hodge-de Rham-Laplace演算子, {{llang|en|Hodge–de Rham Laplacian}}) 또는 '''라플라스-드람 연산자'''(Laplace-de Rham演算子, {{llang|en|Laplace–de Rham operator}})는 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] 위의 [[미분 형식]]에 대하여 정의되는 2차 [[타원형 미분 연산자]]이다. 호지-라플라스 연산자의 값이 0인 [[미분 형식]]을 '''조화 미분 형식'''(調和微分形式, {{Llang|en|harmonic differential form}})이라고 하며, [[호지 이론]]에 따라 이는 실수 계수 [[코호몰로지류]]와 표준적으로 대응된다.

== 정의 ==
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] <math>(M,g)</math> 위의 [[미분 형식]]의 [[실수 벡터 공간]]
:<math>\Omega^\bullet(M)</math>
을 생각하자. 임의의 <math>n\in\{0,1,\dotsc,\dim M\}</math>에 대하여, <math>n</math>차 미분 형식의 [[벡터 다발]]의 <math>x\in M</math>에서의 올공간
:<math>\bigwedge^n\mathrm T^*_xM</math>
은 <math>\textstyle\binom{\dim M}n</math>차원 [[실수 벡터 공간]]이며, [[리만 계량]] <math>g|_x</math>로 인하여 이는 [[실수 내적 공간]]을 이룬다. 즉, <math>n</math>차 미분 형식의 벡터 다발은 [[양의 정부호]] 내적을 가지게 되며, 이를 통하여 미분 형식의 공간에 다음과 같은 내적을 줄 수 있다.
:<math>\langle \alpha|\beta\rangle = \frac1{(n!)^2}\int_M \alpha_{i_1i_2\dotsb i_n}\beta_{j_1j_2\dotsb j_n}g^{i_1j_1}\dotsm g^{i_nj_n}\sqrt{\det g}\,\mathrm d^{\dim M}x\qquad\forall \alpha,\beta\in\Omega^n(M)</math>
이에 따라 <math>\Omega(M)</math>의 [[완비 거리 공간|완비화]] <math>\bar\Omega(M)</math>를 취할 수 있으며, 이는 [[실수 힐베르트 공간]]을 이룬다.

이 구조를 사용하여, [[미분 형식]]의 [[외미분]]
:<math>\mathrm d\colon\Omega^\bullet(M)\to\Omega^{\bullet+1}(M)</math>
의 [[에르미트 수반]]
:<math>\mathrm d^\dagger\colon\operatorname{dom}(\mathrm d^\dagger)\to\bar\Omega(M)</math>
:<math>\langle\alpha|\mathrm d^\dagger\beta\rangle = \langle \mathrm d\alpha|\beta\rangle\qquad\forall\alpha,\beta\in\Omega(M)</math>
:<math>\operatorname{dom}\mathrm d^\dagger \subseteq\bar\Omega^\bullet(M)</math>
을 <math>\bar\Omega(M)</math>의 [[조밀 집합]] 위에 정의할 수 있다. 마찬가지로 <math>(\mathrm d^\dagger)^2 = 0</math>이다.

'''호지-라플라스 연산자'''는 미분 형식에 대하여 정의되는 2차 [[타원형 미분 연산자]]이며, 다음과 같다.
:<math>\Delta_{\text{dR}} = \mathrm d \mathrm d^\dagger + \mathrm d^\dagger \mathrm d = (\mathrm d + \mathrm d^\dagger)^2</math>

그 [[핵 (수학)|핵]]은 '''조화 미분 형식'''이라고 한다.

== 성질 ==
=== 스펙트럼 ===
<math>\Delta_{\text{dR}} = (\mathrm d+\mathrm d^\dagger)^2</math>이므로, 라플라스-드람 연산자의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]은 모두 음이 아닌 실수이다.

=== 접속을 통한 라플라스 연산자와의 관계 ===
[[리만 다양체]] <math>M</math> 위의 임의의 <math>(p,q)</math>차 [[텐서장]]
:<math>X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}</math>
에 대하여, [[레비치비타 접속]]을 사용하여 다음과 같은 '''[[라플라스-벨트라미 연산자]]'''를 정의할 수 있다.
:<math>(\Delta X)X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q} = g^{kl}\nabla_k\nabla_l X^{i_1\dotso i_p}_{j_1\dotsc j_q}</math>
만약 <math>p = 0</math>일 경우, <math>(0,q)</math>차 [[텐서장]]은 <Math>q</math>차 [[미분 형식]]과 같다. 이 경우, 일반적으로 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자와 다르며, 그 차는 [[리만 곡률]]에 비례하는 (0차 미분) 국소 선형 연산자이다. 이 관계를 '''바이첸뵈크 항등식'''({{llang|en|Weitzenböck identity}})이라고 한다.

다만, 스칼라 함수의 경우 (<math>p=q=0</math>), 라플라스-벨트라미 연산자는 라플라스-드람 연산자(의 &minus;1배)와 같다.
:<math>g^{ij}\nabla_j\partial_i f = -\mathrm d^\dagger\mathrm d f = - \Delta_{\text{dR}} f</math>
<div class ="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명''':
<div class="mw-collapsible-content">
차수로 인하여, <Math>f\in\Omega^0(M)</math>에 대하여 <math>\mathrm d^\dagger f = 0</math>이다. 따라서
:<math>\Delta_{\text{dR}} f = \mathrm d\mathrm d^{\dagger} f + \mathrm d^\dagger \mathrm df = \mathrm d^\dagger \mathrm df</math>
이다. 따라서, 임의의 함수 <Math>g\in\Omega^0(M)</math>에 대하여 
:<math>\int_M g^{ij}\nabla_i \nabla_j f\,\sqrt{\det g}\,\mathrm dx = \langle \mathrm dg|\mathrm df\rangle</math>
임을 보이면 족하다. 그런데 [[스토크스 정리]]에 의하여
:<math>\int_M g^{ij}\nabla_i \nabla_j f\,\sqrt{\det g}\,\mathrm dx = -\int_M g^{ij} \nabla_i f \nabla_j g \,\sqrt{\det g} = - \langle \mathrm df|\mathrm dg\rangle</math>
이다.
</div></div>

=== 조화 미분 형식 ===
<math>\Delta_{\text{dR}}</math>가 [[타원형 미분 연산자]]이므로, 조화 미분 형식들의 [[실수 벡터 공간]]은 유한 차원이며, [[호지 이론]]에 따라 [[드람 코호몰로지]] <math>\operatorname H(M;\mathbb R)</math>와 표준적으로 동형이다.

구체적으로, [[닫힌 미분 형식]] <Math>\alpha\in\Omega^k(M)</math>의 [[동치류]]
:<math>[\alpha] = \{\beta\in\Omega^k(M)\colon\exists \gamma\in\Omega^{K-1}(M)\colon \alpha-\beta = \mathrm d\gamma\}</math>
를 생각하자. 이 위에 [[힐베르트 공간]] [[노름]]은 함수
:<math>\|-\| \colon [\alpha] \to [0,\infty)</math>
를 정의하며, 조화 미분 형식은 이 함수를 최소화한다. 이러한 대표원은 각 동치류 속에서 유일하게 존재함을 보일 수 있다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|성=Warner|이름= Frank |날짜=1971 | 제목= Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | 출판사=Springer-Verlag | isbn= 0-387-90894-3 | mr = 722297 | 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=harmonic differential form|title=Harmonic differential form}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:미분기하학]]