호지 구조 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''호지 구조'''(Hodge構造, {{llang|en|Hodge structure}})는 [[켈러 다양체]] 위에 [[호지 이론]]으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.

== 정의 ==
=== 순수 호지 구조 ===
무게가 <math>n</math>인 '''순수 호지 구조'''(純粹Hodge構造, {{llang|en|pure Hodge structure}}) <math>(H,F^\bullet)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="FRT">{{서적 인용|arxiv=1412.8499|장=An introduction to Hodge structures|이름=Sara Angela|성=Filippini|이름2=Helge|성2=Ruddat|이름3=Alan|성3=Thompson|제목= Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics|총서=Fields Institute Communications|issn=1069-5265|출판사=Springer|언어=en}}</ref>{{rp|Definition 1}}
* [[자유 아벨 군]] <math>H</math>
* [[복소수]] 벡터 공간의 유한 감소 [[여과 (수학)|여과]] <math>H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^n</math>
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
* <math>p+q=n+1</math>이라면, <math>F^p\cap\bar F^q=\{0\}</math>, <math>F^p\oplus\bar F^q=H\otimes\mathbb C</math>
순수 호지 구조 <math>(H,F^\bullet)</math>에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.
:<math>H^{p,q}=F^p\cap\bar F^q</math>
그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>H\otimes\mathbb C=H^{0,n}\oplus H^{1,n-1}\oplus\cdots\oplus H^{n,0}</math>
:<math>\bar H^{p,q}\cong H^{q,p}</math>
무게 <math>n</math>의 순수 호지 구조 <math>(H,F^\bullet)</math>의 '''호지 수'''(Hodge數, {{llang|en|Hodge number}}) <math>h^{\bullet,n-\bullet}</math>는 다음과 같다.
:<math>h^{p,n-p}=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}^p_F(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)</math>

순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 <math>H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math> 위의, 복소수 곱셈군 <math>\mathbb S(\mathbb R)=\mathbb C^\times</math>의 [[군의 표현|표현]]으로도 정의할 수 있다. 이 경우, <math>H^{p,q}</math>는 <math>\mathbb C^\times</math>의 작용이 <math>z\colon v\mapsto z^p\bar z^qv</math>의 꼴인 성분이다.

같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 '''사상'''(寫像, {{llang|en|morphism}}) <math>f\colon H\to H'</math>은 다음과 같은 성질을 만족시키는 [[군 준동형|아벨 군 준동형]]이다.
* <math>f(H^{p,q})\subset\bigoplus_{i\ge0}H'^{p+i,q-i}</math>

무게 <math>k</math>의 두 개의 순수 호지 구조 <math>H</math>, <math>H'</math>이 주어졌을 때,  [[직합]] <math>H\oplus H'</math> 역시 무게 <math>k</math>의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 <math>k</math>의 순수 호지 구조 <math>H</math>와 무게 <math>k'</math>의 순수 호지 구조 <math>H'</math>이 주어졌을 때, [[텐서곱]] <math>H\otimes H'</math>은 무게 <math>kk'</math>의 순수 호지 구조를 이룬다.

무게 <math>k</math>의 순수 호지 구조 <math>H</math> 위의 '''극성화'''(極性化, {{llang|en|polarization}}) <math>Q</math>는 다음 조건들을 만족시키는, <math>H</math> 위의 정수 [[이차 형식]]이다.
* <math>Q^{\mathbb C}(a,b)=(-1)^k\mathbb Q^{\mathbb C}(b,a)\qquad\forall a,b\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math>
* <math>Q^{\mathbb C}(a,b)=0\forall a\in H^{p,q},\;b\in H^{p',q'},\;(p,q)\ne(q',p')</math>
* <math>i^{p-q}Q(a,\bar a)\in\mathbb R^+\forall a\in H^{p,q}\setminus\{0\}</math>

=== 혼합 호지 구조 ===
'''혼합 호지 구조'''(混合Hodge構造, {{llang|en|mixed Hodge structure}}) <math>(H,F^\bullet,W_\bullet)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="FRT"/>{{rp|Definition 10(1)}}
* [[아벨 군]] <math>H</math>
* <math>H\otimes\mathbb C</math> 위의, 복소수 벡터 공간들의 유한 감소 [[여과 (수학)|여과]]  <math>H\otimes\mathbb C=F^0\supseteq F^1\supseteq\cdots\supseteq F^k</math>. 이를 '''호지 여과'''(Hodge濾過, {{llang|en|Hodge filtration}})라고 한다.
* <math>H\otimes\mathbb Q</math> 위의, [[유리수]] 벡터 공간들의 유한 증가 [[여과 (수학)|여과]] <math>W_0\subseteq W_1\subseteq\cdots\subseteq W_m=H\otimes\mathbb Q</math>. 이를 '''무게 여과'''(-濾過, {{llang|en|weight filtration}})라고 한다.
이는 다음을 만족시켜야 한다.
*모든 <math>n</math>에 대하여, <math>\operatorname{gr}_n^W H =(W_n/W_{n-1})\otimes\mathbb C</math> 위의 감소 여과 <math>F^p\operatorname{gr}_n^WH = (F^p\cap W_n\otimes\mathbb C+W_{n-1}\otimes\mathbb C)/(W_{n-1}\otimes\mathbb C)</math>는 무게 <math>n</math>의 순수 호지 구조를 이룬다.
혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.

혼합 호지 구조 <math>(H,F^\bullet,W_\bullet)</math>의 '''호지 수'''(Hodge數, {{llang|en|Hodge number}}) <math>h^{\bullet,\bullet}</math>는 다음과 같다.<ref name="FRT"/>{{rp|Definition 10(3)}}
:<math>h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}\operatorname{gr}_F^p\operatorname{gr}_{p+q}^W(H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C)</math>

두 혼합 호지 구조 <math>(H,F,W)</math>, <math>(H',F',W')</math> 사이의 '''사상'''(寫像, {{llang|en|morphism}}) <math>f\colon H\to H'</math>은 다음과 같은 성질을 만족시키는, [[아벨 군]]의  [[군 준동형|준동형]]이다.
* <math>f(F^p)\subseteq F'^p</math>
* <math>f(W_kH)\subseteq W'_k</math>

혼합 호지 구조와 그 사상들의 [[범주 (수학)|범주]]는 [[아벨 범주]]를 이룬다. 이 범주에서의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]은 (망각 함자를 통해) 복소수 [[벡터 공간]]에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 [[단나카 범주]]({{llang|en|Tannakian category}})를 이룬다.

== 다양체의 호지 구조 ==
=== 켈러 다양체 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[켈러 다양체]] (또는 복소수체 위의 [[비특이 대수다양체|비특이]] [[완비 대수다양체|완비]] [[사영 대수다양체]]) <math>X</math>의 복소수 계수 [[특이 코호몰로지]] <math>H^k(X;\mathbb C)=H^k(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb C</math>는 [[호지 이론]]에 의하여 다음과 같이 분해된다.
:<math>H^k(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb C=\bigoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)\qquad\forall k=0,1,\dots,n</math>
이는 무게 <math>n</math>의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 [[직합]]
:<math>H(X;\mathbb Z)=\bigoplus_nH^n(X;\mathbb Z)</math>
은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는
:<math>W_k=\bigoplus_{i\le k}H^i(X;\mathbb Z)\otimes\mathbb Q</math>
이며, 호지 여과는
:<math>F^p=\bigoplus_{i\ge p}H^{i,n-i}</math>
이다.

두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 [[정칙 사상]] <math>f\colon M\to M'</math>은 순수 호지 구조의 사상
:<math>f^*\colon H^n(M')\to H^n(M)</math>
을 유도한다.<ref name="FRT"/>{{rp|Example 7}}

=== 비완비 비특이 대수다양체 ===
([[완비 대수다양체]]가 아닐 수 있는) 복소수 [[비특이 대수다양체]] <math>X</math>의 <math>k</math>차 [[특이 코호몰로지]] <math>H^k(X;\mathbb Z)</math> 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 <math>H^k(X;\mathbb Z)</math> 위에 존재하는 무게는 <math>k,k+1,\dots,\min\{2\dim_{\mathbb C}X,2k)</math>이다.<ref name="FRT"/>{{rp|Theorem 8}}<ref>{{서적 인용 | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=피에르 들리뉴 | title=Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) | 장url=http://math.harvard.edu/~tdp/Deligne-Theorie.de.Hodge-1-single-page.pdf | publisher=Gauthier-Villars | mr=0441965 | year=1971 | volume=1 | chapter=Théorie de Hodge I | pages=425–430 | 언어=fr | access-date=2015-03-08 | archive-date=2015-04-02 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150402153058/http://math.harvard.edu/~tdp/Deligne-Theorie.de.Hodge-1-single-page.pdf }}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=피에르 들리뉴 | title=Théorie de Hodge II | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1971__40__5_0 | 저널=Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques | issn= 0073-8301|권=40 | year=1971 | mr=0498551 | zbl=0219.14007 | doi=10.1007/BF02684692 | pages=5–57|언어=fr}}</ref>
:<math>\operatorname{gr}^W_nH^k(X;\mathbb Q)\ne 0\implies k\le n\le\min\{2\dim_{\mathbb C}U,2k\}</math>
또한, 이는 [[함자 (수학)|함자적]]이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 [[반대 범주]]에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이룬다.

비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X</math>의 닫힌 비특이 부분다양체 <math>Y\hookrightarrow X</math>가 주어진다면, [[대수적 위상수학]]에 따라서 다음과 같은 ([[상대 코호몰로지|상대]]) [[특이 코호몰로지]]의 ([[아벨 군]]으로서의) [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to H^i(X,Y)\to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^{i+1}(X,Y)\to H^{i+1}(X)\to\cdots</math>
혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 [[긴 완전열]]을 이룬다.<ref name="FRT"/> 이 경우 <math>H^\bullet(X)</math>는 순수 호지 구조이지만, <math>H^\bullet(X,Y)</math> 및 <math>H^\bullet(Y)</math>는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.

=== 특이 대수다양체 ===
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 [[준사영 대수다양체]]에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다.<ref>{{저널 인용 | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=피에르 들리뉴 | title=Théorie de Hodge III | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__44__5_0 | 저널=Publications mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques | issn= 0073-8301 |권=44 | year=1974 | mr=0498552 | zbl=0237.14003 |doi=10.1007/BF02685881|pages=5–77|언어=fr}}</ref> 일부 경우 이는 [[미분 형식]]으로 계산할 수 있다.<ref>{{저널 인용|이름=Александр Николаевич|성=Варченко|제목= Асимптотики голоморфных форм определяют смешанную структуру Ходжа|저널=Доклады Академии Наук СССР|권=255|쪽=1035–1038|날짜=1980|zbl=0516.14007|언어=ru}}</ref>

== 관련 개념 ==
'''호지 구조의 변동'''(Hodge構造의變動, {{llang|en|variation of Hodge structure}})은 대략 어떤 [[복소다양체]]로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. [[필립 오거스터스 그리피스]]가 도입하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Griffiths | first1=P.  | 저자링크=필립 오거스터스 그리피스 | title=Periods of integrals on algebraic manifolds I (construction and properties of the modular varieties) | url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1968-04_90_2/page/568 | doi=10.2307/2373545 |jstor=2373545 | 저널=American Journal of Mathematics | 권= 90 | 날짜=1968 | pages=568–626|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Griffiths | first1=P. | 저자링크=필립 오거스터스 그리피스 | title=Periods of integrals on algebraic manifolds II (local study of the period mapping) | doi=10.2307/2373485 |jstor=2373485 | publisher=American Journal of Mathematics | 권= 90 | 날짜=1968 | pages=808–865|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용 | last1=Griffiths | first1=P.  | 저자링크=필립 오거스터스 그리피스| title=Periods of integrals on algebraic manifolds III (some global differential-geometric properties of the period mapping) | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1970__38__125_0 | 저널=Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques  | 권=38 | 호=1|날짜=1970 | doi = 10.1007/BF02684654 | pages=125–180|mr=282990|zbl=0212.53503|issn=0073-8301|언어=en}}</ref>

'''호지 가군'''(Hodge加群, {{llang|en|Hodge module}})은 대략 "호지 구조들의 [[층 (수학)|층]]"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코({{llang|ja|斎藤 盛彦}})가 도입하였다.<ref>{{서적 인용 | last=Saito | first=Morihiko | 장=Introduction to mixed Hodge modules | 제목= Actes du Colloque de Théorie de Hodge (Luminy, 1987) | 총서=Astérisque |권 =179–180 | 날짜=1989 | mr=1042805 | pages=145–162|언어=en}}</ref>

== 예 ==
=== 무게 0 또는 1의 호지 구조 ===
임의의 [[아벨 군]] <math>H</math>에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.
:<math>H^{0,0}=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math>
:<math>F^0=H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math>
만약 호지 구조의 차수 <math>(p,q)</math>가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.

아벨 군 <math>H</math> 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 <math>(p,q)</math>가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 [[벡터 공간]]<math>H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R</math> 위의 [[복소구조]]
:<math>J\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb R</math>
:<math>J^2=-1</math>
와 같다. 이 경우,
:<math>H^{1,0}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=iv\}</math>
:<math>H^{0,1}=\{v\in H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\colon J^{\mathbb C}v=-iv\}</math>
이다. 여기서
:<math>J^{\mathbb C}\colon H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C\to H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C</math>
:<math>(J^{\mathbb C})^2=-1</math>
는 <math>J</math>의 복소수체로의 선형 확대이다.

보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 <math>H</math> 위에, [[홀수와 짝수|짝수]] 무게 <math>2n</math>의 '''자명한 순수 호지 구조'''를 다음과 같이 줄 수 있다.<ref name="FRT"/>{{rp|Example 1}}
:<math>H^{p,q}=\begin{cases}H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C&(p,q)=(n,n)\\\{0\}&(p,q)\ne(n,n)\end{cases}</math>
'''테이트 호지 구조'''({{llang|en|Tate Hodge structure}}) <math>\mathbb Z(1)</math>는 <math>\mathbb Z</math> 위에 정의되는, 무게 <math>-2</math>의 순수 호지 구조이다.<ref name="FRT"/>{{rp|Example 2}} 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 <math>-2n</math>의 호지 구조는 <math>\mathbb Z(n)</math>으로 쓴다.

=== 테이트 뒤틂 ===
무게 <math>k</math>의 순수 호지 구조 <math>(H,F^\bullet)</math> 및 정수 <math>r</math>가 주어졌을 때, '''테이트 뒤틂'''({{llang|en|Tate twist}}) <math>H(r)</math>는 다음과 같은, 무게 <math>k+2r</math>의 순수 호지 구조이다.<ref name="FRT"/>{{rp|Example 3}}
* 아벨 군으로서, <math>H(r)=H</math>
* <math>H(r)^{p,q}=H^{p-r,q-r}</math>

=== 구멍을 뚫은 타원 곡선 ===
복소수 [[타원 곡선]] <math>E</math>에 서로 다른 닫힌 점 <math>z_1,\dots,z_k\in E</math>가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다.<ref name="FRT"/>{{rp|Example 18}} 우선, [[특이 코호몰로지]]는 다음과 같다.
:<math>H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0</math>
:<math>H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^{k+1}\qquad(k>1)</math>
:<math>H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\qquad(k>0)</math>
[[상대 코호몰로지]] [[긴 완전열]]을 사용하면 다음과 같다.
:<math>0\to H^0(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^1(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0\to H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0</math>
즉, 이는 다음과 같이 분해된다.
:<math>0\to H^0(E;\mathbb Q)\to H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to0</math>
:<math>0\to  H^1(E;\mathbb Q)\to H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E;\mathbb Q)\to0</math>
긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.
:<math>0\to H^1(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q^2\to \operatorname{gr}_1^WH^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to\operatorname{gr}_1^W H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=0</math>
:<math>0\to \operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\to H^2(E,E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)\cong\mathbb Q^k\to H^2(E;\mathbb Q)\cong\mathbb Q\to0</math>
즉,
:<math>\operatorname{gr}_0^WH^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^0(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)</math>
:<math>\dim_{\mathbb Q}\operatorname{gr}_1^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=2</math>
:<math>\operatorname{gr}_2^W H^1(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)=H^2(E\setminus\{z_1,\dots,z_k\};\mathbb Q)</math>
이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.

=== 횡단 교차 ===
대수다양체 <math>X</math>가 두 개의 비특이 [[사영 대수다양체]] <math>X_1</math>과 <math>X_2</math>의 [[합집합]]이며, <math>X_1</math>과 <math>X_2</math>는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다.<ref name="Durfee">{{서적 인용|장=A naive guide to mixed Hodge theory|장url=http://hdl.handle.net/2433/102472|제목=特異点の複素解析|총서=数理解析研究所講究録|권=415|출판사=京都大学数理解析研究所|이름=Alan H.|성=Durfee|날짜=1981-02|언어=en}}</ref>{{rp|§4}} [[대수적 위상수학]]에 따르면, [[특이 코호몰로지]] 위에 [[마이어-피토리스 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to H^{i-1}(X_1\cap X_2)\xrightarrow{\delta_{i-1}} H^i(X)\to H^i(X_1)\oplus H^i(X_2)\to H^i(X_1\cap X_2)\xrightarrow{\delta_i} H^{i+1}(X)\to\cdots</math>
이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 <math>H^i(X_1\cap X_2)</math>와 <math>H^i(X_1)\oplus H^i(X_2)</math>는 무게 <math>i</math>의 순수 호지 구조를 가지지만, <math>H^i(X)</math>는 일반적으로 무게 <math>i</math> 및 <math>i-1</math>을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.
:<math>W_j(H^i(X))=\begin{cases}H^i(X)&j\ge i\\\operatorname{im}\delta_{i-1}&j=i-1\\0&j<i-1\end{cases}</math>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|날짜=2008|제목=Mixed Hodge structures|이름=Christiaan|성=Peters|이름2=Joseph H. M.|성2=Steenbrink|url=http://www.arithgeo.ethz.ch/alpbach2012/Peters_Steenbrinck|doi=10.1007/978-3-540-77017-6|isbn=978-3-540-77015-2|출판사=Springer|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete|권=52|언어=en|확인날짜=2015-07-26|보존url=https://web.archive.org/web/20150326115445/http://www.arithgeo.ethz.ch/alpbach2012/Peters_Steenbrinck#|보존날짜=2015-03-26|url-status=dead}}
* {{서적 인용|날짜=2014|제목=Hodge theory|편집자=Eduardo Cattani, Fouad El Zein, [[필립 오거스터스 그리피스|Phillip A. Griffiths]], Lê Dũng Tráng|총서=Mathematical Notes|권=49|url=http://press.princeton.edu/titles/10288.html|isbn=9780691161341|출판사=Princeton University Press|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hodge structure}}
* {{eom|title=Variation of Hodge structure}}
* {{nlab|id=Hodge structure}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/47852/examples-of-mixed-hodge-structures|제목=Examples of mixed Hodge structures|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.polytechnique.fr/~sabbah/hodge-str.pdf|제목=Théorie de Hodge et théorème de Lefschetz «difficile». Notes de cours (Strasbourg 2000, Bordeaux 2001)|이름=Claude|성=Sabbah|언어=fr}}{{깨진 링크|url=http://www.math.polytechnique.fr/~sabbah/hodge-str.pdf }}

== 같이 보기 ==
* [[호지 이론]]
* [[호지 추측]]
* [[모티브 (수학)]]

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:호지 이론]]