힐베르트 문제 문서 원본 보기

'''힐베르트의 문제'''({{lang|en|Hilbert's problems}})는 수학 문제 23개로, [[독일]]의 [[수학자]]인 [[다비트 힐베르트]]가 [[1900년]] [[프랑스]] [[파리 (프랑스)|파리]]에서 열린 [[세계 수학자 대회]]에서 20세기에 풀어야 할 가장 중요한 문제로 제안한 것이다. 세계 수학자 대회에서 힐베르트는 10문제(1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22)를 공개했고, 나중에 모든 문제가 출판되었다.

== 문제 목록 ==
힐베르트의 23문제는 다음과 같다.

{| class="wikitable"
! 문제 번호
! 내용 요약
! 현재 상태
! 해결 연도
|- 
| [[힐베르트의 1번째 문제|1]]
| [[연속체 가설]]: [[정수]]의 [[집합]]보다 크고 [[실수]]의 집합보다 작은 집합은 존재하지 않는다.
| style="background: #ffffdd; color: black;" |[[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서 [[선택 공리]]를 가정하는지의 여부에 무관하게 증명할 수도 반증할 수도 없음이 증명되었다. 이것으로 이 문제가 해결되었는지에 대해서는 합의된 바가 없다.
| 1963년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 2번째 문제|en|Hilbert's second problem|label=2}}
| [[산술]]의 [[공리]]들이 무모순임을 증명하라.
| style="background: #ffffdd; color: black;" |[[쿠르트 괴델]]과 [[게르하르트 겐첸]]의 결과가 이 문제를 해결했는지에 대한 합의가 존재하지 않는다. 1931년에 증명된 [[괴델의 제2 불완전성 정리]]는 산술의 공리계가 자기 자신의 무모순성을 증명할 수 없음을 보였으며, 1936년에 겐첸은 [[순서수]] {{임시링크|엡실론 영|en|Epsilon numbers (mathematics)|label=ε<sub>0</sub>}} 위에서 [[정초 관계]]를 정의할 수 있으면 산술의 무모순성을 증명할 수 있음을 보였다.
| 1936년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 3번째 문제|en|Hilbert's third problem|label=3}}
| 부피가 같은 두 [[다면체]]에 대해, 하나를 유한 개의 조각으로 잘라낸 뒤 붙여서 다른 하나를 만들어내는 것이 언제나 가능한가?
| style="background:#90ff90; color:black;" |부정적으로 해결. {{임시링크|덴 불변량|en|Dehn invariant}}을 사용하여 증명.
| 1900년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 4번째 문제|en|Hilbert's fourth problem|label=4}}
| [[측지선]]이 항상 직선인 기하 공간을 모두 찾아라.
| style="background: white; color: black;" |해결 여부를 말하기에는 문제의 내용이 너무 애매하다.<ref>Rowe, David; Gray, Jeremy J. (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. {{ISBN|0-19-850651-1}}.</ref>
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 5번째 문제|en|Hilbert's fifth problem|label=5}}
| 연속[[군 (수학)|군]]은 언제나 [[리 군|미분군]]인가?
| style="background: #ffffdd; color: black;" |문제를 어떻게 해석하는지에 따라 {{임시링크|앤드루 글리슨|en|Andrew M. Gleason}}이 해결했다고 볼 수도 있다. 그러나 {{임시링크|힐베르트-스미스 추측|en|Hilbert–Smith conjecture}}과 동치인 것으로 해석할 경우에는 여전히 미해결 문제이다.
| 1953?
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 6번째 문제|en|Hilbert's sixth problem|label=6}}
| [[물리학]] 전체를 공리화하라.
| style="background:#ffffdd; color:black;" | 문제를 어떻게 보느냐에 해결 여부가 다름.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 7번째 문제|en|Hilbert's seventh problem|label=7}}
| a(≠ 0,1)가 [[대수적 수]]이고 b가 대수적 [[무리수]]일 때, a<sup>b</sup>은 [[초월수]]인가?
| style="background:#90ff90; color:black;" |긍정적으로 해결. [[겔폰트-슈나이더 정리]] 참고.
| 1935년
|- 
| [[힐베르트의 8번째 문제|8]]
|
* [[리만 가설]]: [[리만 제타 함수]]의 비자명근의 실수부는 항상 1/2인가?
* [[골드바흐 추측]]: 2보다 큰 모든 짝수는 두 [[소수 (수론)|소수]]의 합으로 나타낼 수 있는가?
| style="background:#ff9090; color:black;" |
* '''소수의 분포''': π(x)=Li(x)+O(x1/2logx) 수준까지 오차항이 내려감(RH가정).
* '''리 계수(Li coefficients) 양의성''' ↔ RH.
* '''de Bruijn–Newman 상수 Λ''': RH는 Λ≤0와 동치(추정 Λ=0).

* '''쌍점 상관(Montgomery–Odlyzko) & 랜덤행렬(GUE) 모델''': 통계가 GUE와 맞아떨어짐(경험·정황).
** '''모리파이어(mollifier) 기법''' 강화
*** ζ(s)의 큰값/작은값을 균형 있게 제어해, 1/2선 위 영점의 '''비율을 100%로 밀어붙이는''' 접근.
** '''고차 모멘트'''
*** ∫0T∣ζ(1/2+it)∣2kdt의 정밀 추정(전 구간, 짧은 구간).
*** 랜덤행렬 이론의 예측(Keating–Snaith류)을 '''무조건부로''' 끌어오는 게 핵심 난제.
** '''영점밀도/영점없는 띠 제어'''
*** 임계선 밖 영점에 대한 zero density bounds를 더욱 날카롭게.
** '''리–포리츠/드브루인–뉴먼 흐름''' 분석
*** Λ의 부호를 해석적으로 결정(“정확히 0”을 보여주면 RH가 참).
** '''새 틀'''
*** 동형사상/스펙트럼 해석(셀버그 제타, 트레이스 공식),   아다마르 곱과 함수론적 에너지·변분법, 혹은 '''완전히 새로운''' 사상·화살표.
|
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 9번째 문제|en|Hilbert's ninth problem|label=9}}
| 모든 [[대수적 수체]]에 대해 일반화된 [[이차 상호 법칙|상호 법칙]]을 찾으라.
| style="background: #ffffdd; color: black;" |부분적으로 해결. [[유체론]]의 발전으로 [[아벨 확대]]에 대해서는 해결되었으나 ([[아르틴 상호 법칙]]), 비아벨 확장에 대해서는 풀리지 않은 상태이다.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 10번째 문제|en|Hilbert's tenth problem|label=10}}
| 임의의 주어진 [[디오판토스 방정식]]이 정수해를 갖는지를 판별하는 알고리즘을 제시하라.
| style="background:#90ff90; color:black;" |부정적으로 해결: {{임시링크|마티야세비치의 정리|en|Matiyasevich's theorem}}에 따라 그러한 알고리즘은 존재하지 않는다.
| 1970년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 11번째 문제|en|Hilbert's eleventh problem|label=11}}
| [[대수적 수]]를 계수로 갖는 [[이차 형식]]의 해 구하기.
| style="background: #ffffdd; color: black;" |부분적으로 해결됨.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 12번째 문제|en|Hilbert's twelfth problem|label=12}}
| [[유리수체]]의 [[아벨 확대]]에 대해 적용되는 [[크로네커-베버 정리]]를 임의의 [[수체]]에 대해 일반화하라.
| style="background:#ff9090; color:black;" |미해결.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 13번째 문제|en|Hilbert's thirteenth problem|label=13}}
| 임의의 7차 방정식을 2변수 대수적 함수를 이용해 풀라.
| style="background:#ff9090; color:black;" |P(x)=x^8 P(1/x)
를 만족하는 '''자기-상반(polynomial palindromic)''' 형태입니다.
x↔1/x
|
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 14번째 문제|en|Hilbert's fourteenth problem|label=14}}
| 특수한 완비 함수족의 유한성의 증명.
| style="background:#90ff90; color:black;" |[[나가타 마사요시]]가 반례를 찾아내, 일반적으로는 성립하지 않음이 증명되었다.
| 1959년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 15번째 문제|en|Hilbert's fifteenth problem|label=15}}
| {{임시링크|슈베르트 계산법|en|Schubert calculus|}}에 대한 엄밀한 기초를 제시하라.
| style="background: #ffffdd; color: black;" |부분적으로 해결.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 16번째 문제|en|Hilbert's sixteenth problem|label=16}}
| [[대수 곡선]] 및 [[대수 곡면]]의 위상
| style="background:#ff9090; color:black;" |
* '''입력:''' 한 변수 쌍 (x,y)에 대한 다항식 f(x,y)=0 (예: CP2의 곡선)
* '''출력:''' 위상 불변량(종수 g, 오일러 특성 χ, 기본군 등)

=== A. 매끈(smooth) 곡선의 기본 공식 ===

* '''차수 d''' 인 매끈 평면곡선이라면 g=2(d−1)(d−2),χ=2−2g. 예) d=3 (타원곡선) → g=1, χ=0.

=== A. CP3의 매끈 초곡면 표준 공식 ===

* '''체른수:''' c1(X)=(4−d)H∣X,c12=d(4−d)2,c2=d(d2−4d+6).
* '''(실)오일러 특성:''' χtop(X)=c2=d(d2−4d+6)=d3−4d2+6d.
| 
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 17번째 문제|en|Hilbert's seventeenth problem|label=17}}
| 음이 아닌 실수 계수를 가진 임의의 다변수 다항식을 항상 [[유리 함수]]의 제곱의 합으로 나타낼 수 있는가?
| style="background:#90ff90; color:black;" |해결: [[에밀 아르틴]]이 증명했으며, 필요한 제곱의 개수의 상한도 발견되었다.
| 1927년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 18번째 문제|en|Hilbert's eighteenth problem|label=18}}
|
* {{임시링크|비면추이 타일링|en|Anisohedral tiling}}으로만 [[테셀레이션]]을 할 수 있는 다면체가 존재하는가?
* 가장 밀도가 높은 {{임시링크|공 쌓기|en|sphere packing}}는 무엇인가?
| style="background:#90ff90; color:black;" | (1) 첫 번째는 {{임시링크|카를 라인하르트|en|Karl Reinhardt (mathematician)}}에 의해 해결. (2) 두 번째([[케플러의 추측]])는 [[컴퓨터를 이용한 증명]]으로 해결.<ref>Rowe & Gray는 2000년에 출판된 책에서 공 쌓기 문제([[케플러의 추측]])가 해결되지 않았다는 이유로 18번 문제를 "미해결"로 분류했으나, 그 뒤로 풀이법이 발표되었다. 아래의 자료 참고.</ref> 정육면체 모양으로 쌓으나 육각형 모양으로 쌓으나 양쪽 다 밀도가 74%이다.
| (1) 1928년<br />(2) 1998년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 19번째 문제|en|Hilbert's nineteenth problem|label=19}}
| [[라그랑지언]]의 해는 언제나 [[해석함수|해석적]]인가?
| style="background:#90ff90; color:black;" |긍정적으로 해결: {{임시링크|엔니오 데 조르지|en|Ennio de Giorgi}}가 증명했고, 나중에 [[존 포브스 내시]]도 독자적인 방법으로 증명했다.
| 1957년
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 20번째 문제|en|Hilbert's twentieth problem|label=20}}
| [[경계값 조건]]을 갖는 모든 [[변분법]] 문제는 해를 갖는가?
| style="background:#90ff90; color:black;" |해결: 20세기 전체에 걸친 연구의 결과로 비선형적인 경우에 대해 해를 찾을 수 있었다.
|
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 21번째 문제|en|Hilbert's twenty-first problem|label=21}}
| 주어진 [[모노드로미 군]]을 갖는 {{임시링크|선형 미분방정식|en|Linear differential equation}}의 존재성을 증명하라.
| style="background:#90ff90; color:black;" |해결. 문제를 어떻게 해석하는지에 따라 긍정적이거나 부정적인 해결로 볼 수 있다.
|
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 22번째 문제|en|Hilbert's twenty-second problem|label=22}}
| {{임시링크|보형함수|en|Automorphic function}}를 이용한 해석적 관계의 균일화.
| style="background:#90ff90; color:black;" |해결.
|
|- 
| {{임시링크|힐베르트의 23번째 문제|en|Hilbert's twenty-third problem|label=23}}
| [[변분법]]의 추가적 발전.
| style="background: white; color: black;" |증명을 할 수 있는가를 판단하기엔 너무 모호한 명제
|
|}

=== 24번째 문제 ===
처음에 힐베르트는 24문제를 생각하였으나, 한 문제를 공개하지 않았다. 이 24번째 문제는 나중에 독일의 수학 역사학자인 {{임시링크|뤼디거 틸레|en|Rüdiger Thiele}}가 힐베르트가 문제들을 공개한 지 100주년인 [[2000년]]에 재발견하였다.

== 각주 ==
;일반적
* {{서적 인용|last=Gray|first = Jeremy J.|author-link = Jeremy Gray|year= 2000|title=The Hilbert Challenge|url=https://archive.org/details/hilbertchallenge0000gray|publisher=[[Oxford University Press]]|isbn=0-19-850651-1}}
* {{서적 인용|author=Yandell, Benjamin H. |year=2002|title=The Honors Class. Hilbert's Problems and Their Solvers|url=https://archive.org/details/honorsclasshilbe0000yand_v5c4 |publisher=A K Peters|isbn=1-56881-141-1}}
* {{서적 인용|last=Thiele|first=Rüdiger|chapter=On Hilbert and his twenty-four problems|title=Mathematics and the historian’s craft. The [[Kenneth May|Kenneth O. May]] Lectures|pages=243–295|isbn=0-387-25284-3|editor-last=Van Brummelen|editor-first=Glen|year=2005|series=[[Canadian Mathematical Society|CMS]] Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC|volume=21|postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}
* {{서적 인용|author=Dawson, John W. Jr|title=Logical Dilemmas, The Life and Work of Kurt Gödel|publisher= AK Peters, Wellesley, Mass|year=1997|pages=A wealth of information relevant to Hilbert's "program" and [[Gödel]]'s impact on the Second Question, the impact of [[Arend Heyting]]'s and [[L. E. J. Brouwer|Brouwer]]'s [[Intuitionism]] on Hilbert's philosophy}}
* Felix E. Browder (editor), ''Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems'', Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII (1976), American Mathematical Society. A collection of survey essays by experts devoted to each of the 23 problems emphasizing current developments.
* {{서적 인용|first=Yuri|last=Matiyasevich|title=Hilbert's Tenth Problem|url=https://archive.org/details/hilbertstenthpro0000mati|publisher=MIT Press, Cambridge, Massachusetts|year=1993|pages=An account at the undergraduate level by the mathematician who completed the solution of the problem|isbn=0262132958}}
* {{서적 인용|author=Nagel, Ernest|author2=Newman, James R.|editor=[[Douglas Hofstadter]]|year=2001|title=Gödel's Proof: Edited and with a New Foreword by Douglas R. Hofstadter|url=https://archive.org/details/gdelsproofnage|publisher=New York University Press, NY|isbn=0-8147-5816-9}}
* {{서적 인용|first=Constance|last= Reid|year=1996|title=Hilbert| publisher=Springer-Verlag, New York| isbn= 0-387-94678-8}}
;구체적
{{각주}}

== 같이 보기 ==
{{위키공용분류}}
* [[밀레니엄 문제]]

== 외부 링크 ==
{{위키문헌|Mathematical Problems}}
*{{springer|title=Hilbert problems|id=p/h120080}}
* [https://web.archive.org/web/20120205025851/http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html Original text of Hilbert's talk, in German]

{{전거 통제}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:수학사]]
[[분류:추측]]
[[분류:수학의 미해결 문제]]
[[분류:힐베르트 문제| ]]