웨어링 문제

수론에서, 웨어링 문제(영어: Waring’s problem)는 모든 양의 정수 $k$에 대하여, 모든 양의 정수 $n$이 $s$개 이하의 양의 $k$제곱수의 합인, ($k$에 의존하지만 $n$에 의존하지 않는) 양의 정수 $s$를 찾을 수 있는지 묻는 문제이다. 예를 들어, 모든 양의 정수는 9개 이하의 양의 세제곱수의 합으로 나타낼 수 있으며, 19개 이하의 양의 네제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

에드워드 웨어링이 1770년에 제기하였으며, 수많은 변형 문제를 낳았다. 다비트 힐베르트가 1909년에 원래 형태를 긍정적으로 해결하였다.

g(k)

임의의 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $g(k)$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• 모든 양의 정수는 $g(k)$개 이하의 양의 $k$제곱수로 나타낼 수 있다.

이 함수는 완전히 묘사되었으며, 다음과 같다.

$g(k)=\{\begin{array}{cc}{2}^k+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor -2& 2^k\{(3/2{)}^k\}+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor \le 2^k\\ 2^k+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor +\lfloor (4/3{)}^k\rfloor -2& 2^k\{(3/2{)}^k\}+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor >2^k\wedge \lfloor (4/3{)}^k\rfloor \lfloor (3/2{)}^k\rfloor +\lfloor (4/3{)}^k\rfloor +\lfloor (3/2{)}^k\rfloor =2^k\\ 2^k+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor +\lfloor (4/3{)}^k\rfloor -3& 2^k\{(3/2{)}^k\}+\lfloor (3/2{)}^k\rfloor >2^k\wedge \lfloor (4/3{)}^k\rfloor \lfloor (3/2{)}^k\rfloor +\lfloor (4/3{)}^k\rfloor +\lfloor (3/2{)}^k\rfloor >2^k\end{array}$

작은 $k$의 값은 다음과 같다.

• $g(1)=1$
• (라그랑주 네 제곱수 정리) $g(2)=4$
• $g(3)=9$
• $g(4)=19$

G(k)

임의의 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $G(k)$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• “충분히 큰” 양의 정수는 $G(k)$개 이하의 양의 $k$제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, $G(k)$개 이하의 양의 $k$제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 수는 유한하다.

이 함수에 대해서 알려진 바는 비교적 적다. 정확한 값은 오직 다음 경우만이 알려져 있다.

• $G(1)=1$
• $G(2)=4$
• $G(4)=16$

작은 $k$의 상계는 다음과 같다.

• $G(3)\le 7$
• $G(5)\le 17$
• $G(6)\le 24$
• $G(7)\le 33$
• $G(8)\le 42$
• $G(9)\le 50$

현재 알려진 가장 좋은 점근적 상계는 아마도 다음과 같다.

$G(k)\le k(\ln k+\ln \ln k+2+O(\ln \ln k/\ln \ln \ln k))$

G~(k)

임의의 양의 정수 $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$에 대하여, $\tilde{G}(k)$가 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수라고 하자.

• “거의 모든” 양의 정수는 $\tilde{G}(k)$개 이하의 양의 $k$제곱수로 나타낼 수 있다. 즉, $\tilde{G}(k)$개 이하의 양의 $k$제곱수로 나타낼 수 없는 양의 정수의 점근 밀도는 0이다.

자명하게 $\tilde{G}(k)\le G(k)\le g(k)$이다. $\tilde{G}$의 경우, 다음과 같은 값들이 알려져 있다.

• $\tilde{G}(1)=1$
• $\tilde{G}(2)=4$
• $\tilde{G}(3)=4$
• $\tilde{G}(4)=15$
• $\tilde{G}(8)=32$
• $\tilde{G}(16)=64$
• $\tilde{G}(32)=128$

같이 보기

• 페르마의 다각수 정리

외부 링크

• 임보해 (2019년 7월 15일). “웨어링 문제와 유연한 웨어링 문제”. 《Horizon》. 고등과학원. 2025년 6월 17일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2025년 10월 1일에 확인함. 
• “Waring problem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Waring’s problem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Waring’s problem” (영어). 《PlanetMath》.