폰 망골트 함수

폰 망골트 함수(von Mangoldt function)는 수론적 함수의 하나로, 독일 수학자 한스 폰 망골트의 이름을 땄다.

정의

보통 $\Lambda (n)$으로 표현하는 함수로서 다음과 같이 정의한다.

• n이 어느 소수 $p$의 거듭제곱일 경우 $\Lambda (n)=\log p$
• 나머지 경우 $\Lambda (n)=0$

성질

폰 망골트 함수는 수론적 함수이면서 곱셈적 함수가 아닌 예로 종종 등장한다.

산술의 기본 정리 때문에 다음이 성립한다.

$\log n=\sum _{d\mid n}\Lambda (d),$

또한, 체비쇼프 함수(Chebyshev function)는 망골트 함수를 이용하여 간단하게 정의할 수 있다. 즉,

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\Lambda (n).$

다음과 같이 뫼비우스 함수(Möbius function)와도 관련이 있다.

$\sum _{d|n}\mu \left(\frac{n}{d}\right)\log d=\Lambda (n)$

디리클레 급수와의 관계

리만 제타 함수의 로그는 다음과 같은 디리클레 급수로 표현할 수 있다.

$\log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Lambda (n)}{\log (n)}\frac{1}{n^s}$

마찬가지로 리만 제타 함수의 로그 도함수(Logarithmic derivative)를 디리클레 급수로 표현하면 다음과 같다.

$\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Lambda (n)}{n^s}.$

같이 보기

• 소수 계량 함수