BRST 양자화

BRST 양자화(영어: BRST quantization) 또는 베키-루에-스토라-튜틴 양자화(영어: Becchi–Rouet–Stora–Tyutin quantization)는 게이지 이론을 양자화하는 한 방법이다. 게이지 이론은 비물리적인 대칭(게이지 대칭)을 지녀 그냥 양자화하기 어렵다. 게이지 대칭을 무시하고 그냥 양자화하면 그 힐베르트 공간이 양의 정부호의 내적을 얻지 못한다. 따라서 상태공간에 차수(grading)를 붙이고 코호몰로지를 만들어 물리적 힐베르트 공간을 얻는다.

역사

카를로 베키(이탈리아어: Carlo Maria Becchi), 알랭 루에(프랑스어: Alain Rouet), 레몽 스토라(프랑스어: Raymond Félix Stora), 러시아의 물리학자 이고리 빅토로비치 튜틴(러시아어: И́горь Ви́кторович Тю́тин) 이 1970년대에 도입하였다.

전개

게이지 이론의 상태공간 $H$는 ℤ₂×ℝ차수가 붙은 벡터 공간 (graded vector space)을 이룬다. 여기서 ℤ₂는 반전성이고, ℝ은 유령수(영어: ghost number)다. 상태공간 위에 정의된 연산자도 마찬가지로 ℤ₂×ℝ차수가 붙어 있는데, 예를 들어 BRST 연산자 $Q$는 반전성 $-1$ (홀수), 유령수 1을 가진다.

$H_n$이 유령수 $n$을 가진 상태공간의 부분공간이라고 하자. 그러면 $Q:H_n\to H_{n+1}$이다. $Q^2=0$이므로, 이는 코호몰로지를 이룬다. 이를 BRST 코호몰로지라고 한다.

실재하는 상태는 $Q$의 코호몰로지, 즉 벡터 공간 $\ker Q_{n+1}/\mathrm{Im}{Q}_n$의 원소다.

일반적 게이지 이론의 양자화

일련의 장 ${\varphi }_i$와 게이지 대칭 ${\delta }_{\alpha }$를 생각하자. 이들이 리 대수

$[{\delta }_{\alpha },{\delta }_{\beta }]={f_{\alpha \beta }}^{\gamma }{\delta }_{\gamma }$

를 만족한다고 하자. 경로적분을 위하여 게이지 고정 조건 $F^A({\varphi }_i)=0$을 가하자. 원래 이론의 (게이지 고정 전) 작용이 $S_0$이라고 하면, 이론의 경로적분은 다음과 같다.

$\frac{1}{V_{\text{gauge}}}\int D\varphi \exp (-S_0)=\int D\varphi D{B}_A;D{b}_{A}D{c}^{\alpha }\exp (-S)$

여기서 새 작용은 다음과 같다.

$S=S_0+i\int B_A{F}^A(\varphi )+\int b({\delta }_{\alpha }{F}^A)c^{\alpha }$

여기서 $b_A$, $c^{\alpha }$는 그라스만 장이다.

게이지 고정한 작용 $S$는 다음과 같은 BRST 대칭을 만족한다.

$\delta {\varphi }_i=-iϵc^{\alpha }{\delta }_{\alpha }{\varphi }_i$

$\delta b_A=-ϵB_A$

$\delta c^{\alpha }=-\frac{1}{2}ϵc^{\beta }{c}^{\gamma }{f_{\beta \gamma }}^{\alpha }$

$\delta B_A=0$

여기서 $ϵ$은 그라스만 도움변수다. 이 연산자를 $Q$라고 부르자. 이는 $Q^2=0$을 만족한다. 따라서 실재하는 상태는 $\ker Q/\mathrm{Im}Q$이다.

양-밀스 이론의 양자화

리 대수 $𝔤$의 게이지군을 가진 양-밀스 이론을 생각하자. 즉 게이지장은 $𝔤$의 값을 지닌 장이다. 게이지 고정 조건 $G^a=\xi {\partial }^{\mu }{A}_{\mu }^a$을 도입하자. 이렇게 하면 게이지장 밖에 파데예프-포포프 유령장 $b^a$와 $c^a$가 필요하다. 여기에 보조장 $B^a$를 추가하자.

그러면 작용은 다음과 같다.

$ℒ=-\frac{1}{4g^2}\mathrm{Tr}[F^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }]+\frac{1}{2g^2}\mathrm{Tr}[BB]-\frac{1}{g^2}\mathrm{Tr}[BG]-\frac{\xi }{g^2}\mathrm{Tr}[{\partial }^{\mu }b{D}_{\mu }c]$

여기에 BRST 연산자 $Q$를 다음과 같이 정의하자.

$QA=Dc$

$Qc=\frac{i}{2}[c,c{]}_L$

$QB=0$

$Qb=B$

같이 보기

• 바탈린-빌코비스키 대수

참고 문헌

• Becchi, Carlo Maria (2008). “Becchi-Rouet-Stora-Tyutin symmetry” (영어). 《Scholarpedia》 3 (10): 7135. doi:10.4249/scholarpedia.7135. 
• Becchi, Carlo (1996). “Introduction to BRS symmetry” (영어). arXiv:hep-th/9607181. 
• D. R. Bes; O. Civitarese (2002년 5월). “Illustrations of the Becchi–Rouet–Stora–Tyutin invariance by means of simple toy models” (영어). 《American Journal of Physics》 70 (5): 548–555. doi:10.1119/1.1450574. 
• Horuzhy, S. S.; A. V. Voronin (1989년 12월). “Remarks on mathematical structure of BRST theories” (영어). 《Communications in Mathematical Physics》 123 (4): 677–685. doi:10.1007/BF01218591. 
• Barnich, Glenn; Friedemann Brandt; Marc Henneaux (2000년 11월). “Local BRST cohomology in gauge theories” (영어). 《Physics Reports》 338 (5): 439–569. arXiv:hep-th/0002245. doi:10.1016/S0370-1573(00)00049-1. 
• van Holten, J.W. (2005). 〈Aspects of BRST quantization〉 (영어). Lecture Notes in Physics 659. 《Topology and Geometry in Physics》. Berlin, Heidelberg: Springer. 99–166쪽. Bibcode:2005LNP...659...99V. doi:10.1007/978-3-540-31532-2_3. ISBN 978-3-540-23125-7. ISSN 0075-8450.