쿠쟁 문제

복소기하학에서 쿠쟁 문제(Cousin問題, 영어: Cousin problems)는 복소다양체 위의, 정칙 함수의 층과 유리형 함수의 층 사이의 관계에 대한 두 개의 유명한 문제이다.

정의

복소다양체 $M$ 및 열린 덮개 ${U_{i}}$ 및 유리형 함수 $f_{i} : U_{i} \to \hat{ℂ}$ 가 주어졌다고 하자.

제1 쿠쟁 문제

모든 $i, j$ 에 대하여, 만약 $U_{i} \cap U_{j} \neq \emptyset$ 이라면 $f_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}} - f_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}}$ 가 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f : M \to \hat{ℂ}$ 가 존재하는지에 대한 문제이다.

모든 $i$ 에 대하여, $f |_{U_{i}} - f_{i}$ 는 정칙 함수이다.

이는 층 코호몰로지로 다음과 같이 서술할 수 있다. $𝒦$ 가 $M$ 위의 유리형 함수의 층이며, $𝒪$ 가 $M$ 위의 정칙 함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 $𝒦 / 𝒪$ 를 정의할 수 있으며, 자연스러운 사상

Γ_{M} (𝒦) \overset{ϕ}{\to} Γ_{M} (𝒦 / 𝒪)

가 존재한다. 여기서 $Γ_{M}$ 은 대역적 단면들의 아벨 군이다.

${f_{i}}_{i \in I}$ 는 $𝒦 / 𝒪$ 의 대역적 단면을 정의한다. 만약 위 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f$ 가 존재한다면, 이는 ${f_{i}}_{i \in I}$ 가 사상 $ϕ$ 의 상에 포함된다는 것과 같다. 즉, 제1 쿠쟁 문제는 사상 $ϕ$ 가 전사 사상인지 여부를 묻는다.

층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면, $Γ_{M} (-)$ 은 0차 층 코호몰로지 $H^{0} (M; -)$ 과 같으므로,

H^{0} (M; 𝒦) \overset{ϕ}{\to} H^{0} (M; 𝒦 / 𝐎) \to H^{1} (M; 𝒪) \to \dots

와 같은 긴 완전열이 존재한다. 따라서, 만약 $H^{1} (M; 𝒪)$ 가 자명군이라면 $ϕ$ 는 전사 사상이 되며, 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다. 특히, 카르탕 B정리에 따라서, 만약 $M$ 이 슈타인 다양체라면 제1 쿠쟁 문제가 해결 가능하다.

제2 쿠쟁 문제

모든 $i, j$ 에 대하여, 만약 $U_{i} \cap U_{j} \neq \emptyset$ 이라면 $(f_{i} |_{U_{i} \cap U_{j}}) / (f_{j} |_{U_{i} \cap U_{j}})$ 가 어디서나 0이 아닌 정칙함수라고 하자. 그렇다면, 제1 쿠쟁 문제는 다음 조건을 만족시키는 유리형 함수 $f : M \to \hat{ℂ}$ 가 존재하는지에 대한 문제이다.

모든 $i$ 에 대하여, $f |_{U_{i}} / f_{i}$ 는 정칙함수이며, 어디서나 0이 아니다.

$𝒪^{*}$ 가 어디서나 0이 아닌 정칙 함수들의 곱셈군의 층이며, $𝒦^{*}$ 가 모든 곳에서 0이 아닌 유리형 함수들의 곱셈군의 층이라고 하자. 그렇다면 몫층 $𝒦^{*} / 𝒪^{*}$ 및 사상

Γ_{M} (𝒦^{*}) \overset{ϕ}{\to} Γ_{M} (𝒦^{*} / 𝒪^{*})

를 정의할 수 있다. 이 경우 ${f_{i}}_{i \in I}$ 는 $𝒦^{*} / 𝒪^{*}$ 의 대역적 단면을 정의하며, $f$ 는 $𝒦^{*}$ 의 대역적 단면이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $ϕ$ 가 전사 사상인지 여부와 동치이다.

제1 쿠쟁 문제와 마찬가지로, 층 코호몰로지의 긴 완전열을 사용하면

H^{0} (M; 𝒦^{*}) \overset{ϕ}{\to} H^{0} (M; 𝒦^{*} / 𝒪^{*}) \to H^{1} (M; 𝒪^{*})

이다. 따라서, 제2 쿠쟁 문제는 $H^{1} (M; 𝒪^{*}) = 0$ 인 경우에만 풀 수 있다. 이 층 코호몰로지 군은 구체적으로 다음과 같이 적을 수 있다. 다음과 같은 짧은 완전열

0 \to \underline{2 π i ℤ} \to 𝒪 \overset{\exp}{\to} 𝒪^{*} \to 0

이 존재하므로, 이로부터 다음과 같은 지수열을 정의할 수 있다.

H^{1} (M; 𝒪) \to H^{1} (M; 𝒪^{*}) \to 2 π i H^{2} (M; ℤ) \to H^{2} (M; 𝒪) \to \dots

슈타인 다양체의 경우, 카르탕 B정리에 의하여 $H^{1} (M; 𝒪) ≅ H^{2} (M; 𝒪) ≅ 0$ 이다. 따라서

0 \to H^{1} (M; 𝒪^{*}) \to 2 π i H^{2} (M; ℤ) \to 0

이므로, $H^{1} (M; 𝒪^{*}) ≅ 2 π i H^{2} (M; ℤ)$ 이며, 슈타인 다양체에서의 제2 쿠쟁 문제의 해결의 필요충분조건은 $H^{2} (M; ℤ) ≅ 0$ 이다.

역사

프랑스의 수학자 피에르 쿠쟁(프랑스어: Pierre Cousin)이 1895년에 제시하였다.^[1]

참고 문헌

↑ Cousin, P. (1895). “Sur les fonctions de n variables” (프랑스어). 《Acta Mathematica》 19: 1–62. doi:10.1007/BF02402869.

외부 링크

“Cousin problems” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

같이 보기

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[1] Cousin, P. (1895). “Sur les fonctions de n variables” (프랑스어). 《Acta Mathematica》 19: 1–62. doi:10.1007/BF02402869.

[1]