이차 초곡면

기하학에서 이차 초곡면(二次超曲面, 영어: quadric)은 이차 다항식으로 정의되는 대수다양체이다.

정의

체 $K$에 대한 $n$변수 2차 다항식 $P(x_1,\dots ,x_n)$이 주어졌을 때, $P$에 대응하는 이차 초곡면은 다음과 같다.

$\mathrm{Spec}{𝔸}_K^n/(P(x_1,\dots ,x_n))$

즉,

$\{(x_1,\dots ,x_n)\in {𝔸}_K^n:P(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0\}$

이다. 이는 일반적으로 $n-1$차원 아핀 대수다양체를 이룬다.

만약 $P$가 이차 형식일 경우, 사영 공간 위에도 이차 초곡면을 정의할 수 있다. 즉, 주어진 이차 형식 $Q(x_0,\dots ,x_n)$이 0이 되는 동차 좌표를 갖는 점들로 구성된 사영 대수다양체를 생각할 수 있다. 이는 $n$차원 사영 공간 속의 $n-1$차원 사영 대수다양체를 이룬다.

2차원 이차 초곡면을 이차 곡면(영어: quadric surface)이라고 한다.

예

1차원 이차 초곡면

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 원뿔 곡선입니다.

유클리드 공간의 1차원 이차 초곡면은 원뿔 곡선이라고 한다.

이차 곡면

유클리드 공간의 이차 곡면들은 다음과 같이 14가지가 있다.

비퇴화 이차 곡면
타원면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$	섬네일을 만드는 중 오류 발생:	회전타원면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1$	파일:Oblate Spheroid Quadric.png	구	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{a^2}=1$	파일:Sphere Quadric.png
타원 포물면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-z=0$	파일:Paraboloid Quadric.Png	원 포물면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-z=0$	파일:Circular Paraboloid Quadric.png	쌍곡 포물면	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-z=0$	파일:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png
일엽 쌍곡면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$	파일:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png	이엽 쌍곡면	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$	섬네일을 만드는 중 오류 발생:
퇴화 이차 곡면
타원뿔	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$		원뿔	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{b^2}=0$	섬네일을 만드는 중 오류 발생:	포물 기둥	$x^2+2ay=0$	파일:Parabolic Cylinder Quadric.png
타원기둥	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$	파일:Elliptic Cylinder Quadric.png	원기둥	$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$	파일:Circular Cylinder Quadric.png	쌍곡 기둥	$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$	섬네일을 만드는 중 오류 발생:

같이 보기

• 회전타원면

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Quadric” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.