본질적 단사 사상

범주론에서 본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상이다. 마찬가지로, 잉여적 전사 사상(剩餘的全射寫像, 영어: superfluous epimorphism)은 동형 사상에 매우 가까워, 이와 합성하는 것이 사상이 전사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 전사 사상이다.

정의

범주 $𝒞$의 단사 사상 $f:X\to \tilde{X}$가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$가 본질적 단사 사상이라고 한다.

임의의 사상 $g:\tilde{X}\to Y$에 대하여, 만약 $g\circ f$가 단사 사상이라면, $g$ 역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 $𝒞$의 전사 사상 $f:\tilde{X}\to X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$가 잉여적 전사 사상이라고 한다.

임의의 사상 $g:Y\to \tilde{X}$에 대하여, 만약 $f\circ g$가 전사 사상이라면, $g$ 역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 $ℌ$로 바꾸어 $ℌ$-본질적 사상 및 $ℌ$-잉여적 사상을 정의할 수 있다.

예

임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

집합

집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

가군

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\tilde{M}$의 부분 가군 $M$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 $M$이 $\tilde{M}$의 본질적 부분 가군, $\tilde{M}$이 $M$의 본질적 확대라고 한다.^{:74, Definition 3.26}

• 포함 사상 $M\to \tilde{M}$은 왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$의 본질적 단사 사상이다.
• $\tilde{M}$의 임의의 부분 가군 $N$에 대하여, 만약 $M\cap N=0$이라면 $N=0$이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 $N$을 핵으로 갖는 가군 준동형 $g:M\to P$를 생각하면 알 수 있다.)

마찬가지로, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\tilde{M}$의 부분 가군 $K$ 및 몫가군 $M=\tilde{M}/K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우 $K$가 $\tilde{M}$의 잉여적 부분 가군이라고 한다.^:74

• 몫 사상 $\tilde{M}\to M$은 왼쪽 가군 범주 ${}_R\mathrm{Mod}$의 잉여적 전사 사상이다.
• $\tilde{M}$의 임의의 부분 가군 $N\subseteq \tilde{M}$에 대하여, 만약 $K+N=\tilde{M}$이라면 $N=\tilde{M}$이다.

(이 두 조건이 동치인 것은 $N$을 상으로 갖는 가군 준동형 $g:P\to \tilde{M}$를 생각하면 알 수 있다.)

본질적 부분 가군은 흔히 ${\subseteq }_{\text{e}}$로, 잉여적 부분 가군은 흔히 ${\subseteq }_{\text{s}}$로 표기한다.

특히, ${}_{R}R$ 자체의 본질적/잉여적 부분 가군을 본질적/잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.

외부 링크

• “Essential subgroup” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Superfluous epimorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Essential ideal” (영어). 《nLab》. 
• Sharifi, Yaghoub (2011년 12월 4일). “A singular module is a quotient of a module by an essential submodule” (영어). 《Abstract Algebra》.