가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, 영어: radical 래디컬^[*])는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, 영어: socle 소클^[*])은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.

환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, 영어: Jacobson radical)라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.

정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 이 주어졌다고 하자. $M$ 의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 $_{R} N ⊊_{R} M$ 은 $_{R} (M / N)$ 이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, $M$ 의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군(영어: minimal submodule)이라고 하자.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, 영어: radical) $rad M$ 와 주각(柱脚, 영어: socle) $soc M$ 을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.

왼쪽 가군 $M$ 의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 $M$ 의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 $M$ 의 근기 $rad M \subseteq M$ 라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 $M$ 과 같다.) 왼쪽 가군 $M$ 의 모든 극소 부분 가군들의 합은 $M$ 의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 $M$ 의 주각 $soc M \subseteq M$ 이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.

환의 근기와 주각

환 $R$ 를 스스로 위의 왼쪽 가군 $_{R} R$ 또는 오른쪽 가군 $R_{R}$ 으로 생각할 수 있다. 이 경우, $_{R} R$ 와 $R_{R}$ 의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.

$_{R} R$ 와 $R_{R}$ 의 근기는 $R$ 의 동일한 부분 집합을 정의한다.

rad (_{R} R) = rad (R_{R}) \subseteq R

이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, $R$ 의 제이컵슨 근기(영어: Jacobson radical)라고 한다.

근기의 경우와 달리, 일반적으로 $soc (_{R} R)$ (=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 $soc (R_{R})$ (=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 $R$ 의 왼쪽 주각(영어: left socle) 및 오른쪽 주각(영어: right socle)이라고 한다.

성질

임의의 $R$ -가군 준동형 $f :_{R} M \to_{R} N$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

f (rad M) \subseteq rad N

f (soc M) \subseteq soc N

모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 $_{R} M$ 의 경우 $M \neq rad (_{R} M)$ 이다.

가군의 (유한 또는 무한) 직합

M = ⨁_{i \in I} M_{i}

에 대하여, 다음이 성립한다.

soc M ≅ ⨁_{i \in I} soc M_{i}

rad M ≅ ⨁_{i \in I} rad M_{i}

모든 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

rad (_{M} R / rad (_{R} M)) = 0

soc (soc (_{R} M)) = soc (_{R} M)

환·가군 성질의 필요충분조건

왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

반단순 가군이다.
$soc (_{R} M) = M$ 이다.

환 $R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

반단순환이다.
$soc (_{R} R) = R$ 이다.
$soc (R_{R}) = R$ 이다.
모든 왼쪽 가군 $_{R} M$ 에 대하여 $soc (_{R} M) = M$ 이다.
모든 오른쪽 가군 $M_{R}$ 에 대하여 $soc (M_{R}) = M$ 이다.

환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

반원시환이다.
$rad R = 0$ 이다.

아이디얼성

제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 $R$ 의 경우 $R \neq rad (R)$ 이다.

환 $R$ 의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.

나카야마 보조정리

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $_{R} M$ 이 주어졌다고 하자. $rad R$ 는 아이디얼이므로,

(rad R) M = {r_{1} m_{1} + r_{2} m_{2} + \dots + r_{k} m_{k} : k \in ℕ, r_{1}, \dots, r_{k} \in rad R, m_{1}, \dots, m_{k} \in M} \subseteq M

는 $_{R} M$ 의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리(영어: Nakayama lemma)에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.

$M$ 은 유한 생성 왼쪽 가군이 아니다.
$(rad R) M ⊊ M$ 이다.
$M = 0$ 이다.

증명:

$_{R} M$ 이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. $m_{1}, \dots, m_{k} \in M$ 가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

(생성 집합) $R m_{1} + R m_{2} + \dots + R m_{k} = M$
(극소성) 임의의 $1 \leq i \leq k$ 에 대하여, $R m_{1} + R m_{2} + \dots + R m_{i - 1} + R m_{i + 1} + \dots + R m_{k} \neq M$

$M$ 이 영가군이 아니므로 $k \geq 1$ 이다.

귀류법을 사용하여, $rad (R) M = M$ 이라고 가정하자. 그렇다면,

\sum_{i = 1}^{k} m_{i} = \sum_{i = 1}^{k} j_{i} r_{i} m_{i}

가 되는 $r_{1}, \dots, r_{k} \in R$ 및 $j_{1}, \dots, j_{k} \in rad (R)$ 가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 $1 \leq i \leq k$ 에 대하여 $1 - j_{i} r_{i} \in R^{\times}$ 는 가역원이다. 따라서,

m_{1} = - (1 - j_{1} r_{1})^{- 1} \sum_{i = 2}^{k} (1 - j_{i} r_{i}) m_{i}

가 되며, 이는 ${m_{1}, \dots, m_{k}}$ 의 극소성과 모순된다.

제이컵슨 근기의 원소의 성질

환 $R$ 의 원소 $r \in R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$r \in rad R$ 이다.
임의의 왼쪽 단순 가군 $M$ 에 대하여, $r M = {0}$ 이다.
임의의 오른쪽 단순 가군 $M$ 에 대하여, $M r = {0}$ 이다.
모든 왼쪽 극대 아이디얼 $𝔪$ 에 대하여, $r \in 𝔪$
모든 오른쪽 극대 아이디얼 $𝔪$ 에 대하여, $r \in 𝔪$
모든 $s \in R$ 에 대하여, $1 - r s$ 는 가역원이다.
모든 $s \in R$ 에 대하여, $1 - s r$ 는 가역원이다.
모든 $s, s^{'} \in R$ 에 대하여, $1 - s r s^{'}$ 는 가역원이다.

즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)

가환환 $R$ 의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.

\sqrt{(0)} \subseteq rad R

만약 가환환 $R$ 가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.

예

환의 근기와 주각

체 $K$ 는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.

rad K = 0

soc K = K

보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 $ℤ$ 의 근기는 영 아이디얼이다.

국소환 $(R, 𝔪)$ 의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 $𝔪$ 이다.

정수환의 몫환 $ℤ / (n)$ 의 극대 아이디얼들은 $n \in ℤ$ 의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, $n$ 의 소인수 분해가

n = \prod_{i} p_{i}^{n_{i}}

라면, $ℤ / (n)$ 의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 $n$ 이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.

rad (ℤ / (n)) = \sqrt{(0)} = (\prod_{i} p_{i}) \subseteq ℤ / (n)

아벨 군의 근기와 주각

아벨 군은 정수환 $ℤ$ 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.

순환군

무한 순환군 $ℤ$ 은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 $p$ 에 대하여 $p ℤ$ 의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.

rad (_{ℤ} ℤ) = soc (_{ℤ} ℤ) = 0

임의의 자연수 $n$ 의 소인수 분해

n = p_{1}^{n_{1}} p_{2}^{n_{2}} \dots p_{k}^{n_{k}}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기

rad (n) = p_{1} p_{2} \dots p_{k}

를 정의할 수 있다. $n$ 차 순환군 $ℤ / n$ 의 극소 부분군은 $n$ 의 소인수 $p_{i}$ 크기의 순환군 $(n / p_{i}) ℤ / n$ 이며, 극대 부분군은 $n / p_{i}$ 크기의 순환군 $(p_{i}) ℤ / n$ 에 대응한다. 따라서, 이 경우

rad (_{ℤ} (ℤ / n)) = (rad n) ℤ / n ≅ ℤ / (n / rad n))

soc (_{ℤ} (ℤ / n)) = (n / rad n) ℤ / n ≅ ℤ / (rad n)

이다.

나눗셈군

나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.

rad (_{ℤ} ℚ) = ℚ

soc (_{ℤ} ℚ) = 0

프뤼퍼 군의 부분군들은

0 ⊊ p^{- 1} ℤ / ℤ ⊊ p^{- 2} ℤ / ℤ ⊊ \dots \subset ℤ (p^{\infty})

이므로, 그 유일한 극소 부분군은 $p^{- 1} ℤ / ℤ$ 이며, 이는 그 주각과 같다.

rad (_{ℤ} ℤ (p^{\infty})) = ℤ (p^{\infty})

soc (_{ℤ} ℤ (p^{\infty})) = p^{- 1} ℤ / ℤ

역사

환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.^[1]^[2]^:168

제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.^[3]

나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.^[4]

각주

↑ Dieudonné, Jean (1942). “Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis” (프랑스어). 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 70: 46–75. ISSN 0037-9484. Zbl 0060.07203.
↑ Lambek, Joachim (1986). “Lectures on rings and modules” 3판 (영어). Chelsea Publishing Company. MR 0206032.
↑ Jacobson, Nathan (1945). “The radical and semi-simplicity for arbitrary rings” (영어). 《American Journal of Mathematics》 67: 300–320. doi:10.2307/2371731. ISSN 0002-9327. MR 12271.
↑ Nakayama, Tadasi (1951). “A remark on finitely generated modules” (영어). 《Nagoya Mathematical Journal》 3: 139–140. ISSN 0027-7630. MR 0043770. Zbl 0044.26304.

외부 링크

“Jacobson radical” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Radical of rings and algebras” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Socle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Jacobson radical” (영어). 《nLab》.
“Socle” (영어). 《nLab》.
“Definition: Jacobson radical” (영어). 《ProofWiki》.
“Characterisation of Jacobson radical” (영어). 《ProofWiki》.
“Nakayama's lemma” (영어). 《ProofWiki》.
Yuan, Qiaochu (2012년 5월 30일). “The Jacobson radical” (영어). 《Annoying Precision》.
“Radical of a module” (영어). 《Mathematics and Such》. 2015년 1월 9일.
“Origin of the socle of a module” (영어). Math Overflow.
“How to memorise (understand) Nakayama's lemma and its corollaries” (영어). Math Overflow.

같이 보기

[1] Dieudonné, Jean (1942). “Sur le socle d’un anneau et les anneaux simple infinis” (프랑스어). 《Bulletin de la Société Mathématique de France》 70: 46–75. ISSN 0037-9484. Zbl 0060.07203.

[2] Lambek, Joachim (1986). “Lectures on rings and modules” 3판 (영어). Chelsea Publishing Company. MR 0206032.

[3] Jacobson, Nathan (1945). “The radical and semi-simplicity for arbitrary rings” (영어). 《American Journal of Mathematics》 67: 300–320. doi:10.2307/2371731. ISSN 0002-9327. MR 12271.

[4] Nakayama, Tadasi (1951). “A remark on finitely generated modules” (영어). 《Nagoya Mathematical Journal》 3: 139–140. ISSN 0027-7630. MR 0043770. Zbl 0044.26304.

[1]

[2]

[3]

[4]