가역원

추상대수학에서 가역원(可逆元, 영어: invertible element 또는 unit 유닛^[*])은 환 또는 모노이드에서 곱셈에 대한 역원이 있는 원소들이다.

정의

모노이드 $M$ 의 원소 $x \in M$ 의 역원(영어: inverse) $y$ 는

x y = y x = 1

이 되는 원소 $y \in M$ 이다. 주어진 원소의 역원은 유일한데, 이는 만약 $x \in M$ 이 두 역원 $y, y^{'} \in M$ 을 갖는다면 $y^{'} = (y x) y^{'} = y (x y^{'}) = y$ 가 되기 때문이다.

모노이드에서, 역원을 갖는 원소를 가역원이라고 한다. 모노이드 $M$ 의 가역원들로 구성된 부분 집합

Unit (M) = {x \in M : \exists y \in M : x y = y x = 1}

은 $M$ 의 부분 모노이드이자 군을 이루며, 이를 $M$ 의 가역원군(영어: group of invertible elements, group of units)이라고 하며, $M^{\times}$ 또는 $M^{*}$ 또는 $Unit (M)$ 으로 표시한다.

환의 가역원(군)이란 곱셈 모노이드로서의 가역원(군)을 뜻한다.

범주론적 정의

범주론적 관점에서, 모노이드는 하나의 대상만을 갖는 작은 범주로 생각할 수 있으며, 이 경우 모노이드의 원소들은 유일한 대상의 자기 사상들에 대응한다. 이 경우, 가역원은 모노이드의 동형 사상과 같으며, 가역원군은 유일한 대상의 자기 동형군과 같다. 즉, 가역원의 개념은 동형 사상의 개념의 특수한 경우이다.

임의의 작은 범주는 여러 개의 대상들을 가지며, 따라서 각 대상에 대하여 고유의 가역원군을 정의할 수 있다. 또한, 주어진 작은 범주에서 동형 사상이 아닌 사상들을 삭제하면 준군을 얻으며, 이 역시 가역원군의 일반화로 간주할 수 있다.

가역원층

환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 두 열린집합 $U \subseteq V \subseteq X$ 에 대하여

Γ (U; 𝒪_{X}^{\times}) = {(Γ (U; 𝒪_{X}))}^{\times}

{res}_{U, V}^{𝒪_{X}^{\times}} = {res}_{U, V}^{𝒪_{X}} |_{Γ (U; 𝒪_{X})^{\times}}

인 아벨 군 값의 층 $𝒪_{X}^{\times}$ 가 존재하며, 이를 $𝒪_{X}$ 의 가역원층(可逆元層, 영어: sheaf of units)이라고 한다. (여기서 $Γ (-, -)$ 는 층의 단면군을 뜻하며, $res$ 는 두 층 단면군 사이의 제한 준동형을 뜻한다.)

성질

환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R^{\times} = R ∖ {0}$
$R$ 는 나눗셈환이다.

환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$R ∖ R^{\times}$ 가 덧셈에 대한 아벨 군을 이룬다.
$R$ 는 국소환이다.

환 $R$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

$0 \in R^{\times}$ 이다.
$R = R^{\times}$ 이다.
$R$ 는 자명환이다.

이는 만약 0이 역원을 갖는다면 $1 = 0^{- 1} 0 = 0$ 이 되기 때문이다.

예

$ℤ^{\times} = {\pm 1}$ 이다.
나눗셈환의 경우, 0이 아닌 모든 원소가 가역원이다. 예를 들어, $ℚ^{\times} = ℚ ∖ {0}$ 이다.
체 $K$ 에 대한 행렬환 $Mat (n; K)$ 의 가역원군은 일반선형군 $Mat (n; K)^{\times} = GL (n; K)$ 이다. 이는 가역행렬로 구성된 군이다.
대수기하학에서, 스킴 $(X, 𝒪_{X})$ 의 구조층 $𝒪_{X}$ 의 가역원층 $𝒪_{X}^{\times}$ 계수의 1차 층 코호몰로지 $H^{1} (X; 𝒪_{X}^{\times}) = Pic (X)$ 는 $X$ 의 피카르 군이라고 한다.

외부 링크

“Invertible element” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Unit” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Unit” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Invertible element” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Invertible” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Unit” (영어). 《nLab》.

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