중심 (대수학)

추상대수학에서 중심(中心, 미국 영어: center)은 어떤 대수 구조에서 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 집합이다.

정의

이항 연산 $\cdot$ 을 가진 대수 구조 $X$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 의 중심 $Z (X)$ 은 다음과 같은 부분 집합이다.

{z \in X : x \cdot z = z \cdot x \forall x \in X}

일부 대수 구조의 경우, 이는 $X$ 의 부분 대수를 이룬다.

중심의 기호는 보통 $Z$ 인데, 이는 중심을 뜻하는 독일어: Zentrum 첸트룸^[*]의 머릿글자다.

만약 이항 연산에 대한 항등원 $x \cdot 1 = 1 \cdot x = x$ 이 존재한다면, 항등원은 항상 중심에 속한다.

1 \in Z (X)

만약 이항 연산이 결합 법칙을 만족시키고, 항등원을 가지며, 어떤 원소 $z \in Z (X)$ 에 대하여 역원 $z^{- 1} \cdot z = z \cdot z^{- 1} = 1$ 이 존재한다면, 역원 역시 중심에 속한다.

z \in Z (X) ⟹ z^{- 1} \in Z (X)

이는 임의의 $x \in X$ 에 대하여

z^{- 1} \cdot x = z^{- 1} \cdot x \cdot z \cdot z^{- 1} = z^{- 1} \cdot z \cdot x \cdot z^{- 1} = x \cdot z^{- 1}

이기 때문이다. 그러나 이는 결합 법칙 없이는 성립하지 않는다.

군 $G$ 의 중심 $Z (G)$ 는 $G$ 의 아벨 부분군이며, 특히 정규 부분군이다. 아벨 군의 경우, $Z (G) = G$ 이다.

모노이드 $(M, \cdot)$ 의 중심 $Z (M)$ 은 항상 부분 모노이드를 이룬다. 가환 모노이드의 경우, $Z (M) = M$ 이다.

유사환 $(R, +, \cdot)$ 의 중심은 곱셈 $\cdot$ 에 대한 중심이다. (덧셈에 대한 중심은 자명하다.) 이는 항상 부분 유사환을 이루며, $R$ 는 $Z (R)$ 위의 결합 대수를 이룬다.

환 $(R, +, \cdot)$ 의 중심은 유사환으로서의 중심과 같다. 이는 항상 부분환을 이루며, $R$ 는 $Z (R)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다. 환의 중심은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.

나눗셈환 $D$ 의 중심 $Z (D)$ 은 체를 이루며, $D$ 는 그 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

대표적인 군의 중심은 다음과 같다.

사원수의 나눗셈환 $ℍ$ 의 중심은 실수체 $ℝ$ 이며, 사원수환은 그 위의 4차원 단위 결합 대수를 이룬다.

행렬환 $Mat (n; K)$ 의 중심은 스칼라 행렬

Z (Mat (n; K)) = {a I_{n \times n} : a \in K} ≅ K

이다. 행렬환은 이에 따라 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

“Centre of a group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Centre of a ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Group center” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.