다항식환

대수학에서 다항식환(多項式環, 영어: polynomial ring)은 어떤 주어진 환을 계수로 하는 다항식들로 구성된 환이다.

정의

환 $R$ 에 대한 다항식환 $R [x]$ 는 집합으로서

{p \in R^{ℕ} : | {n \in ℕ : p_{n} \neq 0} | < ℵ_{0}}

이다. 이 집합의 원소를 다항식이라고 한다. 각 원소 $p \in R [x]$ 를

p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} x^{n} = p_{0} + p_{1} x + p_{2} x^{2} + \dots

으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈

p (x) + q (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} (p_{n} + q_{n}) x^{n}

은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 $R$ -가군 구조가 존재한다.

r p (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} r p_{n} x^{n}

p (x) r = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} r x^{n}

또한, $R [x]$ 에는 다음과 같은 환의 구조가 존재한다.

p (x) q (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} p_{k} q_{n - k} x^{n}

다변수 다항식환(多變數多項式環, 영어: polynomial ring in several variables) $R [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]$ 은 $R [x_{1}] [x_{2}] \dots [x_{n}]$ 과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 $p \in R [x_{1}, \dots, x_{k}]$ 는

p (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{n_{1} = 0}^{\infty} \dots \sum_{n_{k} = 0}^{\infty} p_{n_{1}, \dots, n_{k}} x_{1}^{n_{k}} \dots x_{k}^{n_{k}}

로 표기한다.

성질

차수

다항식 $0 \neq p \in R [x]$ 의 차수(次數, 영어: degree)는

\deg p = \max {n \in ℕ : p_{n} \neq 0}

이다. 다항식 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 $\deg 0 = - \infty$ 또는 $\deg 0 = - 1$ 을 사용한다).

보다 일반적으로, 다변수 다항식 $0 \neq p \in R [x_{1}, \dots, x_{k}]$ 의 차수는

\deg p = \max {n_{1} + \dots + n_{k} : p_{n_{1}, \dots, n_{k}} \neq 0}

이다.

다항식 $p, q \in R [x]$ (또는 다변수 다항식 $p, q \in R [x_{1}, \dots, x_{k}]$ )가 주어졌고, 편의상 $\deg 0 = - \infty$ 라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.

$\deg (p + q) \leq \max {\deg p, \deg q}$
만약 $\deg p \neq \deg q$ 라면, $\deg (p + q) = \max {\deg p, \deg q}$
$\deg (p q) \leq \deg p + \deg q$
만약 $R$ 가 영역이라면, $\deg (p q) = \deg p + \deg q$

근

다항식 $p \in R [x]$ 의 근(根, 영어: root)은 $p (r) = 0$ 을 만족시키는 환의 원소 $r \in R$ 를 뜻한다. 이 경우 $(x - r)^{m} ∣ p (x)$ 를 만족시키는 최대의 정수 $m$ 을 근 $r$ 의 중복도(重復度, 영어: multiplicity)라고 한다. 중복도가 1인 근을 단순근(單純根, 영어: simple root)이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 다중근(多重根, 영어: multiple root)이라고 한다.

가환환 $R$ 를 계수로 하는 다항식 $p \in R [x]$ 및 환의 원소 $r \in R$ 가 주어졌다고 하자. 인수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$r$ 는 $p (x)$ 의 근이다.
$x - r ∣ p (x)$

가환환 $R$ 를 계수로 하는 다항식 $p \in R [x]$ 의 근 $r \in R$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$r$ 는 $p (x)$ 의 단순근이다.
$p^{'} (r) \neq 0$

표수 $c$ 의 체 $K$ 를 계수로 하는 다항식 $p \in K [x]$ 의 근 $a \in K$ 의 중복도가 $m$ 이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

만약 $c ∤ m$ 이라면, $p^{'} (x)$ 에 대한 $a$ 의 중복도는 $m - 1$ 이다.
만약 $c ∣ m$ 이라면, $p^{'} (x)$ 에 대한 $a$ 의 중복도는 $m$ 이상이다.

특히, 만약 $c = 0$ 이거나 $c > m$ 이라면, $p (x)$ 에 대한 $a$ 의 중복도는

m = \min {k \in ℤ^{+} : p^{(k)} (a) \neq 0}

이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 를 계수로 하는 다항식 $p \in K [x]$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$p (x)$ 는 다중근을 가진다.
$\gcd {p (x), p^{'} (x)} \neq 1$

체 $K$ 를 계수로 하는 기약 다항식 $p \in K [x]$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$p (x)$ 는 분해 가능 다항식이다. (즉, 대수적 폐포 $\bar{K}$ 에서 다중근을 가진다.)
$p^{'} (x) = 0$

특히, 만약 $K$ 의 표수가 0이거나, $K$ 가 유한체라면, $p (x)$ 는 분해 가능 다항식이다.

환론적 성질

환 $R$ 에 대하여,

만약 $R$ 가 가환환이라면, $R [x]$ 역시 가환환이다.
만약 $R$ 가 영역이라면, $R [x]$ 역시 영역이다.
만약 $R$ 가 정역이라면, $R [x]$ 역시 정역이다.
만약 $R$ 가 유일 인수 분해 정역이라면, $R [x]$ 역시 유일 인수 분해 정역이다.
(힐베르트 기저 정리) 만약 $R$ 가 가환 뇌터 환이라면, $R [x]$ 역시 가환 뇌터 환이다.
만약 $R$ 가 체라면, $R [x]$ 는 유클리드 정역이다.

영역 $R$ 를 계수로 하는 다항식 $p \in R [x]$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$p (x)$ 는 $R [x]$ 의 가역원이다.
$p \in R$ 이며, $p$ 는 $R$ 의 가역원이다.

보편 성질

다항식환은 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 가환환 $R$ , $S$ 및 환 준동형 $ϕ : R \to S$ 및 원소 $s \in S$ 에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 환 준동형 $\tilde{ϕ} : R [x] \to S$ 가 존재한다.

$\tilde{ϕ} |_{R} = ϕ$
$ϕ (x) = s$

특히, 다음 그림이 가환한다.

\begin{matrix} R & ↪ & R [x] \\ ϕ ↘ & ↓ \tilde{ϕ} \\ S \end{matrix}

구체적으로,

\tilde{ϕ} : p (x) \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} ϕ (p_{n}) s^{n}

이다.

같이 보기

비가환 다항식환

참고 문헌

Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 242. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Polynomial ring” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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