행렬의 닮음

선형대수학에서, 행렬의 닮음(영어: similarity) 또는 상사(相似)는 두 행렬이 같은 선형 변환의 서로 다른 기저에 대한 표현임을 나타내는 관계이다. 행렬의 동치보다 더 강한 조건의 관계이다.

정의

체 $K$ 위의 $n\times n$ 행렬 $A,B\in \mathrm{Mat}(n;K)$에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 가역 행렬 $P\in \mathrm{GL}(n;K)$가 존재한다면, $A,B$가 서로 닮음이라고 한다.

$P^{-1}AP=B$

여기서 $(-{)}^{-1}$는 역행렬이다. 행렬의 닮음은 동치 관계를 이룬다. 체 $K$ 위의 $n\times n$ 가역 행렬들이 이루는 군 $\mathrm{GL}(n;K)$에서 닮음에 대한 동치류는 켤레류와 일치한다.

성질

닮음 불변량

서로 닮음인 행렬의 다음과 같은 성질들은 서로 일치한다. 이러한 성질을 닮음 불변량(-不變量, similarity invariant)이라고 한다.

• 계수
• 행렬식
• 가역성
• 대각합
• 고윳값 및 그 대수적 중복도와 기하적 중복도
• 핵의 차원
• 고유 다항식
• 최소 다항식

같이 보기

• 대각화 가능 행렬
• 선형 변환의 행렬
• 조르당 표준형