대수군

대수기하학에서 대수군(代數群, 영어: algebraic group)은 대수다양체를 이루는 군이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $k$에 대한 대수군 $G\to \mathrm{Spec}k$는 군 연산

$(-\cdot -):G\times G\to G$

${}^{-1}:G\to G$

이 갖추어져 있고, 이들이 정규함수(regular function)인 대수다양체이다. 즉, 대수다양체의 범주에서의 군 대상이다.

대수군의 대수부분군(영어: algebraic subgroup)은 자리스키 위상에 따라 닫혀 있고, 부분군을 이루며, 대수다양체를 이루는 부분집합이다.

분류

선형대수군(영어: linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이며, 아벨 다양체는 아벨 군을 이루는 대수군이다.

슈발레 구조 정리(영어: Chevalley’s structure theorem)에 따라서, 모든 연결 대수군 $G$은 아벨 다양체 $A$의 선형대수군 $H$으로의 군 확대로 간주할 수 있다. 즉, 모든 대수군 $G$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유일한 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to H\to G\to A$

여기서

• $H$는 $G$의 정규 대수부분군이다.
• $A$는 아벨 다양체이다.

예

• 모든 유한군은 자명하게 대수군을 이룬다.
• 선형대수군(영어: linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이다.
  • 일반선형군 $\mathrm{GL}(n,k)$
  • 특수선형군 $\mathrm{SL}(n,k)$
  • 심플렉틱 군 $\mathrm{Sp}(2n,k)$
  • 가역 상삼각행렬들의 군 $\mathrm{Upper}(n,k)$
  • 비퇴화 이차 형식 $q$에 대하여, 직교군 $\mathrm{O}(q)$ 및 특수직교군 $\mathrm{SO}(q)$
• 아벨 다양체는 아벨 군인 대수군이다.
  • 타원 곡선은 1차원 아벨 다양체이다.

반면, 예를 들어 유니터리 군 $\mathrm{U}(n)$은 복소 대수군이 아니다.

같이 보기

• 보렐 부분군

각주

• Humphreys, James E. (1972). 《Linear Algebraic Groups》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 21. Springer. ISBN 978-0-387-90108-4. MR 0396773. 
• Lang, Serge (1983). 《Abelian varieties》 (영어). Springer. ISBN 978-0-387-90875-5. 
• Mumford, David (1970). 《Abelian varieties》 (영어). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-560528-0. OCLC 138290. 
• Springer, Tonny A. (1998). 《Linear algebraic groups》 2판 (영어). Progress in Mathematics 9. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4021-7. MR 1642713. 
• Waterhouse, William C. (1979). 《Introduction to affine group schemes》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 66. Berlin, New York: Springer. ISBN 978-0-387-90421-4. 
• Weil, André (1971). 《Courbes algébriques et variétés abéliennes》 (프랑스어). Paris: Hermann. OCLC 322901. 

외부 링크

• “Algebraic group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.