약수 함수

정수론에서 약수 함수(約數函數, 영어: divisor function)는 주어진 수의 약수들의 거듭제곱의 합으로 정의되는 수론적 함수다.

정의

양의 정수 $n$과 복소수 $a$에 대하여, 약수 함수 ${\sigma }_a(n)$는 다음과 같다.

${\sigma }_a(n)=\sum _{d\mid n}{d}^a$

여기서 $\sum _{d\mid n}$은 $n$의 양의 약수들에 대한 합이다. 이 경우 1과 $n$ 자신을 포함시키지만, 양수가 아닌 약수는 포함시키지 않는다.

${\sigma }_0(n)$은 $d(n)$로도 나타내며, $n$의 약수의 개수에 해당한다.

${\sigma }_0(n)=\mathrm{\#}\{d\in {\mathbb{Z}}^{+}:d\mid m\}$

${\sigma }_1(n)$은 시그마 함수 $\sigma (n)$라고 하며 $n$의 모든 약수의 합을 나타낸다.

$\sigma (n)={\sigma }_1(n)=\sum _{d\mid n}d$

$\sigma (n)-n$은 진약수의 합 $s(n)$이다.

표

낮은 지수의 약수 함수의 열은 다음과 같다.

σ₀

1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, … (OEIS의 수열 A000005)

σ₁

1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, … (OEIS의 수열 A000203)

σ₂

1, 5, 10, 21, 26, 50, 50, 85, 91, 130, … (OEIS의 수열 A001157)

σ₃

1, 9, 28, 73, 126, 252, 344, 585, 757, 1134, … (OEIS의 수열 A001158)

σ₄

1, 17, 82, 273, 626, 1394, 2402, 4369, 6643, 10642, … (OEIS의 수열 A001159)

σ₅

1, 33, 244, 1057, 3126, 8052, 16808, 33825, 59293, … (OEIS의 수열 A001160)

σ₆

1, 65, 730, 4161, 15626, 47450, 117650, 266305, … (OEIS의 수열 A013954)

σ₇

1, 129, 2188, 16513, 78126, 282252, 823544, 2113665, … (OEIS의 수열 A013955)

성질

양의 정수 $p$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $p$는 소수이다.
• $d(p)=2$
• $\sigma (p)=p+1$

왜냐하면 정의에 의해 소수의 양의 약수는 1과 소수 자신 뿐이기 때문이다.

약수 함수는 곱셈적이다. 그러나 완전 곱셈적은 아니다.

만약 $n=\prod _{i=1}^r{p}_i^{a_i}$ 로 소인수 분해된다면,

$d(n)=\prod _{i=1}^r(a_i+1)$,

$\sigma (n)=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}$

이 된다. 일반적으로 $a\ne 0$인 경우,

${\sigma }_a(n)=\prod _{i=1}^r\frac{p_i^{a(a_i+1)}-1}{p_i^a-1}$

이 성립한다.

최대·최소 크기

다음이 성립한다.^{:262, Theorem 317:266, Theorem 323}

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\ln d(n)\ln \ln n}{\ln n}=\ln 2$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{\sigma (n)}{n\ln \ln n}=e^{\gamma }$

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수이다. 이 상극한들에 대응하는 하극한들은 자명하게 0이므로, 이 상극한들은 극한이 아니다. 즉, 약수 함수의 크기는 매우 불규칙적이다.

평균 크기

약수 함수의 부분합은 보다 좋은 점근적 근사를 갖는다. 예를 들어, 다음과 같은 점근 공식이 있다.

$\sum _{k=1}^{n}d(k)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O(\sqrt{n})$

이에 따라, 양의 정수 $n$은 평균적으로 약 $\ln n$개의 약수를 갖는다. 이는 디리클레 쌍곡선 방법(영어: Dirichlet hyperbola method)을 사용하여 보일 수 있다. 디리클레 약수 문제(Dirichlet約數問題, 영어: Dirichlet divisor problem)는 이 점근 공식의 오차 $O(\sqrt{n})$를 개선하는 문제다.

다음과 같은 점근 공식이 성립한다.

$\sum _{k=1}^n\sigma (k)=\frac{1}{12}{\pi }^2{n}^2+O(n\ln n)$

이에 따라, 양의 정수 $n$의 약수의 합은 평균적으로 약 ${\pi }^{2}n/6$이다.

로뱅 부등식

다음 네 명제는 서로 동치이다.

• 리만 가설
• 임의의 정수 $n\ge 5141$에 대하여, 로뱅 부등식(Robin不等式, 영어: Robin’s inequality) $$\sigma (n)<e^{\gamma }n\ln \ln n$$은 참이다.
• 충분히 큰 $n$에 대하여, 로뱅 부등식은 참이다.
• 임의의 $0<\beta <1/2$ 및 $C>0$에 대하여, 충분히 큰 $n$에 대하여 $$\sigma (n)\le e^{\gamma }n\ln \ln n+\frac{Cn\ln \ln n}{(\ln n{)}^{\beta }}$$이다.

임의의 정수 $n\ge 3$에 대하여, 로뱅 부등식보다 약한 부등식

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\ln \ln n+0.6482\frac{n}{\ln \ln n}$

이 성립한다.

만약 리만 가설이 거짓이라면, 로뱅 부등식의 반례가 되는 거대 과잉수가 존재한다.

참고 문헌

• Lagarias, Jeffrey C. (2002). “An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis” (영어). 《American Mathematical Monthly》 109 (6): 534–543. arXiv:math/0008177. doi:10.2307/2695443. ISSN 0002-9890. MR 1908008. Zbl 1098.11005. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Divisor function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 

같이 보기

• 수론적 함수
• 오일러 피 함수
• 유니타리 약수