뱀 완전열

호몰로지 대수학에서 뱀 완전열(-完全列, 영어: snake exact sequence)은 아벨 대상의 아벨 범주 속의 6개의 대상들 사이의 가환하는 사상으로부터, 사상들의 핵과 여핵들 사이를 연결하는 완전열이다.

정의

아벨 범주에서, 다음과 같은 그림이 가환한다고 하자.

파일:Snake lemma origin.svg

여기에서 각 행은 완전열이며 0은 영 대상이다. 이 경우, 세 사상 $a$, $b$, $c$의 핵과 여핵들로 구성된 6항 완전열이 존재하며, 이를 뱀 완전열이라고 한다.^{:11, Lemma 1.3.2}

$\ker a\to \ker b\to \ker c\stackrel{d}{\to }\mathrm{coker}a\to \mathrm{coker}b\to \mathrm{coker}c$

이 완전열에서, $d$를 연결 사상(連結寫像, 영어: connecting morphism)이라고 한다.

연결 사상 $d$는 만약 $𝒜$가 아벨 군 범주의 부분 범주라고 할 경우 구체적으로 다음과 같다.

연결 사상의 구성:

우선, 임의의 $\gamma \in \ker c\subseteq C$에 대하여 다음과 같은 원소들을 정의하자.

• $g(\beta )=\gamma$인 임의의 $\beta \in B$ (이는 $g$가 전사 사상이므로 가능하다)
  • $g^{\prime }(b(\beta ))=c(g(\beta ))=c(\gamma )=0$이므로, $b(\beta )\in \ker g^{\prime }\subseteq B^{\prime }$가 된다.
• $0\to A^{\prime }\to B^{\prime }\to C^{\prime }$가 완전열이므로, (다시 말해, $\mathrm{im}{f}^{\prime }=\ker g^{\prime }$이고 $f^{\prime }$이 단사 사상이므로) $f^{\prime }({\alpha }^{\prime })=b(\beta )$인 ${\alpha }^{\prime }\in A^{\prime }$이 유일하게 존재한다.

그렇다면, 연결 사상 $d$는 다음과 같다.

$d:\gamma \mapsto {\alpha }^{\prime }+\mathrm{im}a$

이는 $\beta \in B$의 선택에 의존하지 않으며, 또한 연결 사상을 통해 얻는 열이 완전열임을 보일 수 있다.

뱀 완전열의 존재는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 사용하여 보일 수 있다.

증명:^{:Lemma 2.4}

그림의 위에 핵을, 밑에 여핵을 추가하여 다음과 같은 그림을 만들자.

$\begin{array}{ccccccc}& & 0& & 0& & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \ker a& \to & \ker b& \to & \ker c\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & A& \to & B& \to & C& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A^{\prime }& \to & B^{\prime }& \to & B^{\prime }\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \mathrm{coker}a& \to & \mathrm{coker}b& \to & \mathrm{coker}c\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 0& & 0& & 0\end{array}$

이제, 다음 세 명제를 증명하면 족하다.

• (가): ${}_{=}(\ker b)\cong 0$
• (나): ${}_{=}(\mathrm{coker}b)\cong 0$
• (다): $(\ker c{)}_{◻}\cong {}^{◻}(\mathrm{coker}a)$. 이는 $\mathrm{coker}(\ker b\to \ker c)=(\ker c{)}_{◻}$이며, $\ker (\mathrm{coker}a\to \mathrm{coker}b)={}^{◻}(\mathrm{coker}a)$이기 때문이다. 이 동형 사상은 연결 사상에 해당한다.

이제, 완전성을 사용하여 다음 교외 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다.

$\begin{array}{ccccccc}& & 0_{◻}& & 0_{◻}& & 0_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}0\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}0& & {}^{◻}0& & {}^{◻}0\end{array}$

$\ker b\to \ker c$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열 및 $\mathrm{coker}b\to \mathrm{coker}c$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열을 사용하면, 아래 그림에 추가된 교내 사상이 추가로 동형 사상임을 알 수 있다.

$\begin{array}{ccccccc}& & 0_{◻}& & 0_{◻}& & 0_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow =}{\bullet \to }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}0\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}{\bullet }_{◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow =}{\bullet \to }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}{\bullet }_{◻}\\ & & \swarrow & & \swarrow & & \swarrow \\ & & {}^{◻}0& & {}^{◻}0& & {}^{◻}0\end{array}$

이제, (가) ~ (다)의 증명은 다음과 같이 간단하다.

• (가): 위의 그림에서 붉게 칠한 동형 사상 $0\cong 0_{◻}\to {}^{◻}(\ker b)\to {}_{=}(\ker b)$
• (나): 위의 그림에서 하늘색으로 칠한 동형 사상 $0\cong {}^{◻}0\leftarrow (\mathrm{coker}b{)}_{◻}\leftarrow {}_{=}(\mathrm{coker}b)$
• (다): 위의 그림에서 녹색으로 칠한 동형 사상 $(\ker c{)}_{◻}\to {}^{◻}C\leftarrow B_{◻}\to {}^{◻}{B}^{\prime }\leftarrow A_{◻}\to {}^{◻}(\mathrm{coker}a)$

성질

그림

파일:Snake lemma origin.svg

에 대응하는 뱀 완전열에서, 다음이 성립한다.

• (가) 만약 $f$가 단사 사상이라면 $\ker a\to \ker b$도 단사 사상이다.
• (나) $g^{\prime }$이 전사 사상인 경우 $\mathrm{coker}b\to \mathrm{coker}c$도 전사 사상이다.

이들은 서로 쌍대적이다. 즉, 아벨 범주 $𝒜$에서의 명제 (가)는 반대 범주 ${𝒜}^{\mathrm{op}}$에서의 명제 (나)와 같다.

증명:

편의상 (가)를 증명하자.

가환 그림

$\begin{array}{ccccc}0& \to & \ker a& \to & \ker b\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A& \to & B\end{array}$

에서, ${}_{=}(\ker a)\cong 0$임을 보이면 족하다.

도롱뇽 정리로부터, 동형 사상을 이루는 두 교외 사상

$0_{◻}\to {}^{◻}A\leftarrow {}^{◻}(\ker a)$

이 존재한다. 따라서 ${}^{◻}(\ker a)\cong 0$이다. 따라서, $\ker a\to \ker b$를 중심으로 하는 도롱뇽 완전열

$\begin{array}{c}{\mathrm{\backslash color}}_{◻}{0}_{◻}\\ \swarrow \\ \stackrel{◻}{\downarrow }={(\ker a)\to }_{◻}& \nearrow & \stackrel{◻}{\downarrow =}{(\ker b)\to }_{◻}\\ & & \swarrow \\ & & {}^{◻}B{\mathrm{\backslash color}}_{◻}\end{array}$

으로부터, ${}_{=}(\ker a)\cong 0$임을 알 수 있다.

호몰로지 긴 완전열

사슬 복합체의 짧은 완전열이 주어졌을 경우, 위와 같은 뱀 완전열들이 이어져 더 긴 완전열을 얻는다. 이를 짧은 완전열에 대응하는 호몰로지 긴 완전열(영어: homology long exact sequence)이라고 한다.

구체적으로, 아벨 범주에서, 사슬 복합체 $A_{\bullet }$, $B_{\bullet }$, $C_{\bullet }$가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 짧은 완전열을 이룬다고 하자.

$0\to A_{\bullet }\stackrel{\alpha }{\to }{B}_{\bullet }\stackrel{\beta }{\to }{C}_{\bullet }\to 0$

지그재그 정리(zigzag補助定理, 영어: zigzag lemma)에 따르면, 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

$\cdots \to {\mathrm{H}}_{n+1}(C)\to {\mathrm{H}}_n(A)\stackrel{{\alpha }_{*}}{\to }{\mathrm{H}}_n(B)\stackrel{{\beta }_{*}}{\to }{\mathrm{H}}_n(C)\to {\mathrm{H}}_{n-1}(A)\to \cdots$

뱀 완전열을 사용한 구성:^:13–14

다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

$\begin{array}{cccccc}& \ker \underset{n}{\overset{A}{\partial }}& & \ker \underset{n}{\overset{B}{\partial }}& & \ker \underset{n}{\overset{C}{\partial }}\\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0\to & A_n& \to & B_n& \to & C_n& \to 0\\ & {\partial }_n^A\downarrow & & {\partial }_n^B\downarrow & & {\partial }_n^C\downarrow \\ 0\to & A_{n-1}& \to & B_{n-1}& \to & C_{n-1}& \to 0\\ & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & \mathrm{coker}\underset{n}{\overset{A}{\partial }}& & \mathrm{coker}\underset{n}{\overset{B}{\partial }}& & \mathrm{coker}\underset{n}{\overset{C}{\partial }}\end{array}$

뱀 보조정리에 따라서, 모든 $n$에 대하여 다음 두 행들은 완전열을 이룬다.

$0\to \ker \underset{n}{\overset{A}{\partial }}\to \ker \underset{n}{\overset{B}{\partial }}\to \ker \underset{n}{\overset{C}{\partial }}$

$\mathrm{coker}\underset{n}{\overset{A}{\partial }}\to \mathrm{coker}\underset{n}{\overset{B}{\partial }}\to \mathrm{coker}\underset{n}{\overset{C}{\partial }}\to 0$

따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

$\begin{array}{ccccccc}& \mathrm{coker}\underset{n+2}{\overset{A}{\partial }}& \to & \mathrm{coker}\underset{n+2}{\overset{B}{\partial }}& \to & \mathrm{coker}\underset{n+2}{\overset{C}{\partial }}& \to 0\\ & {\partial }_{n+1}^A\downarrow & & {\partial }_{n+1}^B\downarrow & & {\partial }_{n+1}^C\downarrow \\ 0\to & \ker \underset{n}{\overset{A}{\partial }}& \to & \ker \underset{n}{\overset{B}{\partial }}& \to & \ker \underset{n}{\overset{C}{\partial }}\end{array}$

이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 호몰로지 ${\mathrm{H}}_{n+1}(-)$와 ${\mathrm{H}}_n(-)$이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 긴 완전열을 얻는다.

$\cdots \to {\mathrm{H}}_{n+1}(A)\to {\mathrm{H}}_{n+1}(B)\to {\mathrm{H}}_{n+1}(C)\to {\mathrm{H}}_n(A)\to {\mathrm{H}}_n(B)\to {\mathrm{H}}_n(C)\to \cdots$

도롱뇽 정리를 사용한 구성:

다음과 같은 그림을 생각하자.

$\begin{array}{ccccccc}& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A_n& \to & B_n& \to & C_n& \to 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & A_{n-1}& \to & B_{n-1}& \to & C_{n-1}& \to 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$

이제, 다음과 같은 사상들을 생각하자.

$\begin{array}{ccccccc}& & ⋮& & ⋮& & ⋮\\ & & & & \swarrow & & \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}0\\ & & & & \swarrow & & \\ 0_{◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}\overrightarrow{\bullet }\stackrel{\Vert }{\downarrow ◻}& \nearrow & {}^{◻}0\\ & & & & \swarrow & & \\ & & ⋮& & ⋮& & ⋮\end{array}$

여기서, 도롱뇽 정리를 사용하여, 붉은 색으로 칠해진 사상들이 동형 사상임을 보일 수 있다. 또한, 검은 색으로 칠해진 사상, 즉

$A_{n◻}\to B_n^{\Vert }\to B_{n◻}\to {}^{◻}{B}_{n-1}\to B_{n-1}^{\Vert }\to {}^{◻}{C}_{n-1}$

는 도롱뇽 정리에 등장하는 완전열이다. 붉은 색의 동형 사상을 적용하면, 이는 호몰로지 긴 완전열

$A_n^{\Vert }\to B_n^{\Vert }\to C_n^{\Vert }\to A_{n-1}^{\Vert }\to B_{n-1}^{\Vert }\to C_{n-1}^{\Vert }$

과 같다.

예

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 마이어-피토리스 열입니다.

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 복시테인 준동형입니다.

대수적 위상수학에서 쓰이는 마이어-피토리스 열은 뱀 완전열의 일종이다. 마찬가지로, 복시테인 준동형은 뱀 완전열의 연결 사상의 일종이다.

역사

파일:Historiae naturalis de quadrupedibus libri (Tab. II) (8594431807).jpg

1657년 유럽에서 출판된 동물학 서적에 수록된 뱀의 그림

뱀 완전열은 연결 사상이 가환 그림에서 마치 뱀처럼 구불거리는 모양을 하므로 이러한 이름이 붙었다. 즉, 다음과 같은 그림

파일:Snake lemma complete.svg

에서, 연결 사상은 갈지자 (之) 모양을 하고 있다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 뱀 정리가 등장한다.^{:Lemma 5.8}

뱀 완전열의 존재의 (수학적으로 올바른) 증명이 클로디아 와일(영어: Claudia Weill) 감독의 1980년 미국 영화 《뉴욕 소나타》(영어: It’s My Turn 이츠 마이 턴^[*])의 도입부에서 등장한다.^:11 이 영화에서 수학 교수 케이트 건징어(영어: Kate Gunzinger, 질 클레이버그 분)는 이 정리를 강의 중에 증명한다.

같이 보기

• 지그재그 보조정리

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Snake lemma” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Connecting homomorphism” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Zig-zag lemma” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Armstrong, John (2007년 10월 2일). “The snake lemma” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》. 
• Guzman, Luis, Jr. (2012년 2월 10일). “The snake lemma” (영어). 《Guzman’s Mathematics Weblog》. 
• Geraschenko, Anton (2007년 11월 13일). “The salamander lemma” (영어). 《Secret Blogging Seminar》. 
• “Snake lemma” (영어). 《nLab》. 
• “Connecting homomorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Long exact sequence in homology” (영어). 《nLab》.