분해 가능 확대

체론에서 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension) 또는 분리 가능 확대(分離可能擴大)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

정의

체 $K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식 $p \in K [x]$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 영어: separable polynomial)이라고 한다.

모든 체의 확대 $L / K$ 및 $a \in L$ 에 대하여, $L [x]$ 속에서 $(x - a)^{2} ∤ p (x)$ 이다.
$| {a \in L : p (a) = 0} | = \deg p$ 인 체의 확대 $L / K$ 가 존재한다.
모든 체의 확대 $L / K$ 및 $a \in L$ 에 대하여, $p (a) = 0 = p^{'} (a)$ 임은 불가능하다.
형식적 도함수 $p^{'} \in K [x]$ 에 대하여, $d p / d x \neq 0$ 이다.

최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대 $L / K$ 에 대하여, 만약 모든 $a \in L$ 에 대하여 그 최소 다항식 $p_{a} (x) \in K [x]$ 이 분해 가능 다항식이라면 $L / K$ 를 분해 가능 확대라고 한다.

체 $K$ 에 대하여, 그 대수적 폐포 $\bar{K}$ 속에서, $K$ 에 대하여 최소 다항식이 분해 가능한 원소들의 집합 $K^{sep}$ 은 $\bar{K}$ 의 부분체를 이루며, 이를 $K$ 의 분해 가능 폐포(分解可能閉包, 영어: separable closure)라고 한다. $K$ 의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.) $K$ 의 분해 가능 확대는 $K$ 의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대 $L / K$ 에 대하여, 만약 모든 $a \in L ∖ K$ 에 대하여 그 최소 다항식 $p_{a} (x) \in K [x]$ 이 분해 가능 다항식이 아니라면 $L / K$ 를 완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 영어: purely inseparable extension)라고 한다.

성질

임의의 체 $K$ 에 대하여, $K^{sep} / K$ 는 분해 가능 확대이며, $\bar{K} / K^{sep}$ 은 완전 비분해 확대이다. 임의의 대수적 확대 $L / K$ 에 대하여, $(L \cap K^{sep}) / K$ 는 분해 가능 확대이며, $L / (L \cap K^{sep})$ 은 완전 비분해 확대이다. 임의의 정규 확대 $L / K$ 에 대하여, $K^{Aut (L / K)} / K$ 는 완전 비분해 확대이며, $L / K^{Aut (L / K)}$ 는 갈루아 확대이다. 또한 $L$ 은 $(L \cap K^{sep})$ 와 $K^{Aut (L / K)} / K$ 의 합성체이며, $K$ 는 둘의 교집합이다. 여기서,

K^{Aut (L / K)} = {a \in L : \forall σ \in Aut (L / K) : σ (a) = a}

는 $L / K$ 의 모든 자기 동형 사상에 대한 고정점의 집합이다.

유한 확대 $L / K$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

분해 가능 확대이다.
체 대각합 $T_{L / K} : L \to K$ 는 전사 함수이다.
$T_{L / K} \neq 0$

예

완전체의 대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

𝔽_{p} (t) / 𝔽_{p} (t^{p})

는 정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다. $t \in 𝔽_{p} (t)$ 의 최소 다항식은

x^{p} - t^{p} \in 𝔽_{p} (t^{p}) [x]

인데, $𝔽_{p} (t) [x]$ 에서 이는

x^{p} - t^{p} = (x - t)^{p} \in 𝔽_{p} (t) [x]

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

참고 문헌

Lang, Serge (2002). 《Algebra》 3판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 211. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Separable extension” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Separable extension” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Levy, Alon (2007년 2월 13일). “Galois Theory: Separability” (영어). 《Abstract Nonsense》.