산술종수

대수기하학에서 산술 종수(算術種數, 영어: arithmetic genus)는 대수다양체의 특징적 수의 하나다.

정의

$n$ 차원 복소 대수다양체의 호지 수(Hodge number)가 $h^{p, q}$ 라고 하자. 이 대수다양체의 산술 종수 $p_{a}$ 는 다음과 같다.

p_{a} = h^{n, 0} - h^{n - 1, 0} + h^{n - 2, 0} - \dots + (- 1)^{n - 1} h^{1, 0}

.

마지막 항 $(- 1)^{n} h^{0, 0}$ 을 포함하지 않는다. 이는 리만 곡면의 종수의 정의와 호환되게 하기 위해서다.

성질

표수 0인 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 대수다양체의 산술 종수는 쌍유리 불변량이다.^[1]^{:413, Remark V.5.6.1} 임의의 표수의 대수적으로 닫힌 체 위에서, 고전적으로는 3차원 이하의 비특이 대수다양체의 산술 종수 역시 쌍유리 불변량이라는 사실이 알려져 있었다. 임의의 표수 및 임의의 차원의 비특이 대수다양체의 산술종수가 쌍유리 불변량이라는 사실은 최근에 증명되었다.^[2]

특이점을 갖는 대수다양체의 경우, 산술 종수는 쌍유리 불변량이 아니다. 예를 들어, 특이점을 갖는 대수 곡선에서 특이점을 부풀리면 산술 종수는 감소한다.^[1]^{:393, Example V.3.9.2}

각주

↑ ^가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Chatzistamatiou, Andre; Rülling, Kay (2011). “Higher direct images of the structure sheaf in positive characteristic” (영어). 《Algebra and Number Theory》 5 (6): 693–775. arXiv:0911.3599. Bibcode:2009arXiv0911.3599C. doi:10.2140/ant.2011.5.693. ISSN 1937-0652.

Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》 2판 (영어). Wiley Classics Library. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.

같이 보기

기하종수

외부 링크

“Arithmetic genus” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.

모듈:Authority_control 159번째 줄에서 Lua 오류: attempt to index field 'wikibase' (a nil value).

[hartshorne-1] 가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Chatzistamatiou, Andre; Rülling, Kay (2011). “Higher direct images of the structure sheaf in positive characteristic” (영어). 《Algebra and Number Theory》 5 (6): 693–775. arXiv:0911.3599. Bibcode:2009arXiv0911.3599C. doi:10.2140/ant.2011.5.693. ISSN 1937-0652.

[1]

[2]