삼각행렬

선형대수학에서 삼각행렬(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

섬네일을 만드는 중 오류 발생:

주대각선

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 $𝐋$을 하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다.

$𝐋=\left[\begin{array}{ccccc}{l}_{1,1}& & & & 0\\ l_{2,1}& l_{2,2}& & & \\ l_{3,1}& l_{3,2}& \ddots & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \\ l_{n,1}& l_{n,2}& \dots & l_{n,n-1}& l_{n,n}\end{array}\right]$

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 $𝐔$을 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다.

$𝐔=\left[\begin{array}{ccccc}{u}_{1,1}& u_{1,2}& u_{1,3}& \dots & u_{1,n}\\ & u_{2,2}& u_{2,3}& \dots & u_{2,n}\\ & & \ddots & \ddots & ⋮\\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0& & & & u_{n,n}\end{array}\right]$

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다.

성질

• 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
• 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
• 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
  • 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
• 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
• 대각행렬과 사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

예

• (순)상삼각행렬(식)

$+eee\left|\begin{array}{cccc}4a& 3b& 2c& d\\ 0& 4a& 3b& 2c\\ 0& 0& 4a& 3b\\ 0& 0& 0& 4a\end{array}\right|=+eee(4a\left|\begin{array}{ccc}4a& 3b& 2c\\ 0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|-3b\left|\begin{array}{ccc}0& 3b& 2c\\ 0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|+2c\left|\begin{array}{ccc}0& 4a& 2c\\ 0& 0& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|-d\left|\begin{array}{ccc}0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\\ 0& 0& 0\end{array}\right|)$

$+eee4a\left|\begin{array}{ccc}4a& 3b& 2c\\ 0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|=+eee4a(4a\left|\begin{array}{cc}4a& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|-3b\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|+2c\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|)$

$-eee3b\left|\begin{array}{ccc}0& 3b& 2c\\ 0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|=-eee3b(\cancel{0\left|\begin{array}{cc}4a& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|}-3b\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|+2c\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|)$

$+eee2c\left|\begin{array}{ccc}0& 4a& 2c\\ 0& 0& 3b\\ 0& 0& 4a\end{array}\right|=+eee2c(\cancel{0\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|}-4a\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|+2c\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|)$

$-eeed\left|\begin{array}{ccc}0& 4a& 3b\\ 0& 0& 4a\\ 0& 0& 0\end{array}\right|=-eeed(\cancel{0\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|}-4a\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|+3b\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|)$

$+eee4a4a\left|\begin{array}{cc}4a& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|=+eee4a4a(4a4a-\cancel{3b0})=+4^4{a}^4{e}^3=+256a^4{e}^3$

$-eee4a3b\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|=-eee4a3b(04a-3b0)=0$

$+eee4a2c\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|=+eee4a2c(00-4a0)=0$

$+eee3b3b\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|=+eee3b3b(04a-3b0)=0$

$-eee3b2c\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|=-eee3b2c(00-4a0)=0$

$-eee2c4a\left|\begin{array}{cc}0& 3b\\ 0& 4a\end{array}\right|=-eee2c4a(04a-3b0)=0$

$+eee2c2c\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=+eee2c2c(00-00)=0$

$+eeed4a\left|\begin{array}{cc}0& 4a\\ 0& 0\end{array}\right|=+eeed4a(00-4a0)=0$

$-eeed3b\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=-eeed3b(00-00)=0$

• (순)하삼각행렬(식)

$aaa\left|\begin{array}{cccc}d& 0& 0& 0\\ 2c& d& 0& 0\\ 3b& 2c& d& 0\\ 4a& 3b& 2c& d\end{array}\right|=aaa(d\left|\begin{array}{ccc}d& 0& 0\\ 2c& d& 0\\ 3b& 2c& d\end{array}\right|-\cancel{0\left|\begin{array}{ccc}2c& 0& 0\\ 3b& d& 0\\ 4a& 2c& d\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{ccc}2c& d& 0\\ 3b& 2c& 0\\ 4a& 3b& d\end{array}\right|-0\left|\begin{array}{ccc}2c& d& 0\\ 3b& 2c& d\\ 4a& 3b& 2c\end{array}\right|})$

$aaad\left|\begin{array}{ccc}d& 0& 0\\ 2c& d& 0\\ 3b& 2c& d\end{array}\right|=aaad\left(d\left|\begin{array}{cc}d& 0\\ 2c& d\end{array}\right|\cancel{-0\left|\begin{array}{cc}2c& 0\\ 3b& d\end{array}\right|+0\left|\begin{array}{cc}2c& d\\ 3b& 2c\end{array}\right|}\right)$

$aaadd\left|\begin{array}{cc}d& 0\\ 2c& d\end{array}\right|=aaadd(dd-\cancel{02c})=a^3{d}^4$

• 삼각행렬 $A$에 대해서 $xI-A$도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 $det(xI-A)$은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 $A$의 고윳값은 각 대각항이 된다.

• 단위 하삼각행렬

$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ ◼& 1& 0& 0\\ ◼& ◼& 1& 0\\ ◼& ◼& ◼& 1\end{array}\right]$

전진 대입과 후진 대입

행렬 방정식 $𝐋𝐱=𝐛$ 또는 $𝐔𝐱=𝐛$의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 $x_1$을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 $x_2$ , ~$x_n$까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 $x_n$, 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 $x_{n-1}$, 반복하여 $x_1$에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

• 전진대입

행렬 방정식 L x = b는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다

$\begin{array}{ccccccc}{\ell }_{1,1}{x}_1& & & & & =& b_1\\ {\ell }_{2,1}{x}_1& +& {\ell }_{2,2}{x}_2& & & =& b_2\\ ⋮& & ⋮& \ddots & & & ⋮\\ {\ell }_{(m-1),1}{x}_1& +& {\ell }_{(m-1),2}{x}_2& +\cdots +& {\ell }_{(m-1),(m-1)}{x}_{(m-1)}& =& b_{(m-1)}\\ {\ell }_{m,1}{x}_1& +& {\ell }_{m,2}{x}_2& +\cdots +& {\ell }_{m,m}{x}_m& =& b_m\end{array}$

여기서 $x_1$는 첫 번째 방정식 (${\ell }_{1,1}{x}_1=b_1$) 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 $x_1$ 과 $x_2$에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 $x_m$이전에 접근한 값 $x_{m-1}$이다. 그리고 맨 마지막 $m$번째 방정식은 $x_m$이다.

이러한 $x_1,x_2,\dots ,x_{m-1},x_m$ 결과 수식은 다음과 같다.

$x_1{\ell }_{1,1}=b_1$

$x_1=\frac{b_1}{{\ell }_{1,1}}$ 이고,

$x_2{\ell }_{2,2}+{\ell }_{2,1}{x}_1=b_2$

$x_2=\frac{b_2-{\ell }_{2,1}{x}_1}{{\ell }_{2,2}}$ 이고,

$x_3{\ell }_{3,3}+x_2{\ell }_{2,2}+{\ell }_{2,1}{x}_1=b_3$

$x_3=\frac{b_3-x_2{\ell }_{2,2}-{\ell }_{2,1}{x}_1}{{\ell }_{3,3}}$ 이고,

정리하면,

$x_1=\frac{b_1}{{\ell }_{1,1}}$

$x_2=\frac{b_2-{\ell }_{2,1}{x}_1}{{\ell }_{2,2}}$

$x_3=\frac{b_3-x_2{\ell }_{2,2}-{\ell }_{2,1}{x}_1}{{\ell }_{3,3}}$

계속해서 ,

$⋮$

일반화하면

$x_m=\frac{b_m-\left(\sum _{i=1}^{m-1}{\ell }_{m,i}{x}_i\right)}{{\ell }_{m,m}}$

• 후진대입

상삼각행렬 U를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

같이 보기

• 사다리꼴행렬
• LU 분해

참고 문헌

• 매스월드
• Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 
• 매스월드
• 매스월드
• 정보통신기술용어해설