쉼표 범주

범주론에서 쉼표 범주(-標範疇, 영어: comma category)는 같은 공역을 갖는 두 함자로부터 정의되고, 함자들의 공역의 사상들을 대상으로 하는 범주이다.

정의

범주 $𝒜$, $ℬ$, $𝒞$ 및 함자

$F:𝒜\to 𝒞$

$G:ℬ\to 𝒞$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 쉼표 범주 $F\downarrow G$는 다음과 같은 범주이다.

• $F\downarrow G$의 대상은 다음과 같은 튜플 $(A,B,\varphi )$이다.
  • $A\in 𝒜$, $B\in ℬ$는 각각 $𝒜$ 또는 $ℬ$의 대상이다.
  • $\varphi \in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(F(A),G(B))$는 $𝒞$ 속의 사상이다.
• $F\downarrow G$의 사상 $(f,g)\in {\mathrm{hom}}_{F\downarrow G}((A,B,\varphi ),(A^{\prime },B^{\prime },{\varphi }^{\prime }))$은 다음과 같은 순서쌍이다.
  • $f\in {\mathrm{hom}}_{𝒜}(A,A^{\prime })$이며 $g\in {\mathrm{hom}}_{ℬ}(B,B^{\prime })$이며, 또한 ${\varphi }^{\prime }\circ F(f)=G(g)\circ \varphi \in {\mathrm{hom}}_{𝒞}(F(A),G(B^{\prime }))$이다.
• $F\downarrow G$의 사상의 합성은 $(f,g)\circ (f^{\prime },g^{\prime })=(f\circ f^{\prime },g\circ g^{\prime })$이다.
• $F\downarrow G$의 항등 사상은 ${\mathrm{id}}_{(A,B,\varphi )}=({\mathrm{id}}_A,{\mathrm{id}}_B)$이다.

화살표 범주

화살표 범주(영어: arrow category)는 $𝒜=ℬ=𝒞$이며 $F=G={\mathrm{Id}}_{𝒞}$인 경우이다. 이 경우는 ${𝒞}^{\to }$라고 쓰며, ${𝒞}^{\to }$의 대상은 $𝒞$의 사상이며, ${𝒞}^{\to }$의 사상은 $𝒞$의 가환 사각형들이다.

조각 범주

$1$이 자명군에 대응하는, 하나의 대상과 그 항등 사상만을 갖는 범주이며, $X^{*}:1\to 𝒞$가 $1$의 유일한 대상을 $X\in 𝒞$로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 쉼표 범주

$𝒞/X={\mathrm{Id}}_{𝒞}\downarrow X^{*}$

를 $X$에 대한 조각 범주(영어: slice category)라고 한다. 반대로, 두 함자의 순서를 바꾼 쉼표 범주

$X\mathrm{\setminus }𝒞=X^{*}\downarrow {\mathrm{Id}}_{𝒞}$

를 $X$에 대한 쌍대 조각 범주(영어: coslice category)라고 한다.

예

• $\{\bullet \}$이 한원소 집합이라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 $\{\bullet \}\mathrm{\setminus }\mathrm{Set}$는 점을 가진 집합의 범주이다. 마찬가지로, $\{\bullet \}\mathrm{\setminus }\mathrm{Top}$은 점을 가진 공간의 범주이다. 이들은 대수적 위상수학에서 쓰인다.
• 대수기하학에서 $\mathrm{Sch}/K$는 체의 아핀 공간 $\mathrm{Spec}K$에 대한 스킴들의 조각 범주이다. 보다 일반적으로, 스킴 $S\in \mathrm{Sch}$에 대하여, $\mathrm{Sch}/S$는 $S$-스킴들의 범주이다.
• 함자 $D:\mathrm{Set}\to \mathrm{Set}$가 $D(S)=S\times S$라고 하자. 그렇다면 ${\mathrm{Id}}_{\mathrm{Set}}\downarrow D$는 (스스로로 가는 변을 허용하는) 유향 그래프의 범주이다. 이 경우, 대상은 $(E,V,\mathrm{end})$의 꼴인데 $E$는 변의 집합, $V$는 꼭짓점의 집합, 함수 $\mathrm{end}:E\to V\times V$는 각 변을 양 끝점의 순서쌍으로 대응시키는 함수이다.
  • 무향 그래프의 범주를 얻으려면, $D$를 $D(S)=(S\times S)/((s,t)\sim (t,s)\mathrm{\forall }s,t\in S)$로 치환하면 된다.
  • 시작점과 끝점이 같은 변을 허용하지 않으려면, $D$를 $D(S)=(S\times S)\setminus \{(s,s)|s\in S\}$로 치환하면 된다.
• $\mathrm{CRing}$이 가환환의 범주라고 하자. 그렇다면 쌍대 조각 범주 $R\mathrm{\setminus }\mathrm{CRing}$은 $R$에 대한 가환 대수의 범주 $R\text{-CAlg}$와 동치이다.
• $\mathrm{forget}:\mathrm{Grp}\to \mathrm{Set}$가 군의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자라고 하고, $S^{*}:1\to \mathrm{Set}$가 $1$의 유일한 대상을 집합 $S$로 대응시키는 함자라고 하자. 그렇다면 $S^{*}\downarrow \mathrm{forget}$의 대상은 $S$에서 군 $G$로 가는 함수 $S\to G$이며, $S^{*}\downarrow \mathrm{forget}$의 사상은 군 준동형과 일대일 대응된다. 이 경우, $S^{*}\downarrow \mathrm{forget}$의 시작 대상은 $S$로 생성되는 자유군이다.^:9

역사와 어원

프랜시스 윌리엄 로비어가 1963년 박사 학위 논문에서 도입하였다. 원래 쉼표 범주의 표기법이 쉼표를 사용하여 $(F,G)$였기 때문에 ‘쉼표 범주’라고 불렸다. 오늘날 이 표기법은 더 이상 쓰이지 않지만, ‘쉼표 범주’라는 이름만은 그대로 쓰이고 있다.

각주

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Comma category” (영어). 《nLab》. 
• “Overcategory” (영어). 《nLab》. 
• “Under category” (영어). 《nLab》. 
• “Arrow category” (영어). 《nLab》. 
• “Twisted arrow category” (영어). 《nLab》. 
• “Comma category” (영어). 《nLab》. 
• “Overcategory” (영어). 《nLab》. 
• “Under category” (영어). 《nLab》. 
• The Catsters (2008년 11월 4일). “Slice and comma categories 1” (비디오) (영어). 유튜브. 
• The Catsters (2008년 12월 9일). “Slice and comma categories 2” (비디오) (영어). 유튜브.