쌍선형 형식

선형대수학에서 쌍선형 형식(雙線型形式, 문화어: 쌍1차형식, 영어: bilinear form)은 두 개의 벡터 변수에 대하여 각각 독립적으로 선형인 스칼라 값 함수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$는 다음과 같은 가군 준동형이다.^{:235:54, (3.13)}

$B:V\otimes V\to K$

여기서 $\otimes$는 $K$-가군의 텐서곱이다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 조건을 만족시키는 함수 $B:V\times V\to K$이다.

• (왼쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$, $u,v,w\in V$에 대하여, $B(au+bv,w)=aB(u,w)+bB(v,w)$
• (오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$, $u,v,w\in V$에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

가환환 $K$가 다음과 같은 2차 자기 동형을 가진다고 하자.

$\overline{}:K\to K$

$\overline{}\circ \overline{}={\mathrm{id}}_K$

$\overline{}$에 대한 반쌍선형 형식(半雙線型形式, 영어: sesquilinear form) $B$는 다음 조건을 만족시키는 함수 $B:V\times V\to K$이다.

• (왼쪽 반선형성) 임의의 $a,b\in K$, $u,v,w\in V$에 대하여, $B(au+bv,w)=\overline{a}B(u,w)+\overline{b}B(v,w)$
• (오른쪽 선형성) 임의의 $a,b\in K$, $u,v,w\in V$에 대하여, $B(w,au+bv)=aB(w,u)+bB(w,v)$

일부 문헌에서는 대신 왼쪽 선형성 · 오른쪽 반선형성을 요구하는 경우도 있다. 대개 전자는 물리학에서, 후자는 순수 수학에서 더 많이 쓰이지만, 힐베르트 공간 따위를 다룰 때에는 대개 전자를 사용한다. 반쌍선형 형식은 쌍선형 형식의 개념의 일반화이며, 만약 자기 동형 $\overline{}$가 항등 함수라면 이는 쌍선형 형식을 이룬다.

대칭 형식

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 대칭 쌍선형 형식(對稱雙線型形式, 영어: symmetric bilinear form)이라고 한다.^{:235:54, (3.13)}

$B(u,v)=B(v,u)\mathrm{\forall }u,v\in V$

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 반대칭 쌍선형 형식(反對稱雙線型形式, 영어: antisymmetric bilinear form, skew-symmetric bilinear form)이라고 한다.^{:54, (3.13)}

$B(u,v)=-B(v,u)\mathrm{\forall }u,v\in V$

가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 교대 쌍선형 형식(交代雙線型形式, 영어: alternating bilinear form)이라고 한다.^{:235:54, (3.13)}

$B(v,v)=0\mathrm{\forall }v\in V$

$K$가 체라고 하면, 이들 사이의 관계는 다음과 같다.

• $K$가 표수가 2가 아닌 체인 경우: 교대 형식 = 반대칭 형식이며, 대칭 형식이자 반대칭 형식인 경우 0인 상수 함수이다.
• $K$가 표수가 2인 체인 경우: 교대 형식 $⊊$ 반대칭 형식 = 대칭 형식

자기 동형 $\overline{}$를 갖는 가환환 $K$ 위의 가군 $V$ 위의 반쌍선형 형식 $B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 에르미트 반쌍선형 형식(Hermite半雙線型形式, 영어: Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

$B(u,v)=\overline{B(v,u)}\mathrm{\forall }u,v\in V$

이는 대칭 쌍선형 형식의 일반화이다. 마찬가지로, 반쌍선형 형식 $B$가 다음 조건을 만족시킨다면, 반에르미트 반쌍선형 형식(反Hermite半雙線型形式, 영어: anti-Hermitian sesquilinear form)이라고 한다.

$B(u,v)=-\overline{B(v,u)}\mathrm{\forall }u,v\in V$

만약 $K$의 표수가 홀수라면, 에르미트 형식의 개념과 반에르미트 형식의 개념은 일치한다. 교대 반쌍선형 형식(交代半雙線型形式, 영어: alternating sesquilinear form)의 정의는 교대 쌍선형 형식과 같다.

비퇴화 형식

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$의 왼쪽 근기(영어: left radical)와 오른쪽 근기(영어: right radical)는 각각 다음과 같다.

$\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}_{\mathrm{L}}B=\ker (v\mapsto B(v,-))=\{v\in V:\mathrm{\forall }u\in V:B(v,u)=0\}$

$\mathrm{r}\mathrm{a}{\mathrm{d}}_{\mathrm{R}}B=\ker (v\mapsto B(-,v))=\{v\in V:\mathrm{\forall }u\in V:B(u,v)=0\}$

대칭 쌍선형 형식과 반대칭 쌍선형 형식의 경우 왼쪽 근기와 오른쪽 근기가 일치하며, 이 경우 단순히 $B$의 근기(영어: radical) $\mathrm{rad}B$라고 한다.

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 대칭 또는 반대칭 쌍선형 형식 $B$의 근기가 $\{0\}$이라면, $B$를 비퇴화 쌍선형 형식(非退化雙線型形式, 영어: nondegenerate bilinear form)이라고 한다. 이 조건은 구체적으로 다음과 같다.

$\mathrm{\forall }v:(\mathrm{\forall }w:B(v,w)=0)⟹v=0$

이 경우, $B$를 통해 벡터 공간의 표준적인 동형

$i:V\to V^{*}$

$v\mapsto B(v,-)$

이 주어진다. (만약 $B$가 대칭 쌍선형 형식일 경우 이는 유일하지만, $B$가 반대칭 쌍선형 형식일 경우 왼쪽과 오른쪽 동형이 −1배로 서로 다르다.) 이러한 동형이 존재하려면 $V$는 유한 차원 벡터 공간이어야 하므로, 비퇴화 쌍선형 형식은 유한 차원 벡터 공간 위에서만 존재할 수 있다.

쌍선형 형식에 대응하는 이차 형식

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식 $B$에 대응하는 이차 형식(영어: associated quadratic form) $Q_B$은 다음과 같은 이차 형식이다.

$Q_B:V\to K$

$Q_B:v\mapsto B(v,v)$

쌍선형 형식과 이차 형식의 관계는 $K$의 표수가 2인지 여부에 따라 다르다.

홀수 표수

$K$의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, $B$를 대칭 성분과 반대칭 성분

$B^{+}(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)+B(v,u))$

$B^{-}(u,v)=\frac{1}{2}(B(u,v)-B(v,u))$

으로 분해할 수 있으며, $B$에 대응하는 이차 형식은 대칭 성분 $B^{+}$에 의하여 완전히 결정된다.

반대로, 이차 형식 $Q$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 대칭 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

$B(u,v)=\frac{1}{2}(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))$

그렇다면 $Q$는 $B$에 대응하는 이차 형식이다.

따라서, 표수가 2가 아닌 경우, 이차 형식의 개념과 대칭 쌍선형 형식의 개념은 서로 동치이다. 즉, 하나가 주어졌을 때 다른 하나는 유일하게 결정된다.

짝수 표수

$K$의 표수가 2인 경우, $1/2$를 정의할 수 없다. 만약 벡터 공간 $V$가 1차원인 경우 여전히 (반)대칭 쌍선형 형식은 이차 형식과 일대일 대응하지만, $V$가 2차원 이상일 경우 이차 형식과 쌍선형 형식 사이의 일대일 대응이 더 이상 성립하지 않는다.

예

이차 형식에 대응하는 쌍선형 형식

2차원 벡터 공간 위의 다음과 같은 이차 형식을 생각하자.

$Q(x,y)=a{x}^2+bxy+c{y}^2$

표수가 2가 아닌 경우, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 다음과 같다.

$B(x,y;x^{\prime },y^{\prime })=ax{x}^{\prime }+\frac{1}{2}b(x^{\prime }y+x{y}^{\prime })+cy{y}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b/2\\ b/2& c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

만약 표수가 2인 경우, $b/2$를 정의할 수 없다. 만약 $b\ne 0$이라면, 이에 대응하는 쌍선형 형식은 존재하지 않는다.

짝수 표수에서 교대가 아닌 반대칭 형식

표수가 2인 체 위의 2차원 벡터 공간 위에서 다음과 같은 쌍선형 형식을 생각하자.

$B(x,y;x^{\prime },y^{\prime })=x{x}^{\prime }$

이는 (반)대칭 쌍선형 형식이지만,

$B(1,0;1,0)=1$

이므로 교대 형식이 아니다.

참고 문헌

• Milnor, John; Husemoller, Dale (1973). 《Symmetric bilinear forms》 (영어). Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 73. Springer. doi:10.1007/978-3-642-88330-9. ISBN 978-3-642-88332-3. Zbl 0292.10016. 
• Elman, Richard; Karpenko, Nikita; Merkurjev, Alexander (2008). 《The algebraic and geometric theory of quadratic forms》 (영어). Colloquium Publications 56. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4329-1. 
• 鄭弼雄; 韓成鎬 (2004년 9월 3일). 《線型代數學槪論》. 淸文閣. ISBN 978-89-7088216-1. 2015년 9월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 26일에 확인함. 

같이 보기

• 이차 형식
• 내적 공간
• 직교군
• 유니터리 군

외부 링크

• “Bilinear form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sesquilinear form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bilinear form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Symmetric bilinear form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Bilinear form” (영어). 《nLab》. 
• “Quadratic refinement” (영어). 《nLab》. 
• “Characteristic element of a bilinear form” (영어). 《nLab》. 
• 이철희. “겹선형 형식(bilinear form)”. 《수학노트》. 
• 이철희. “교대 겹선형 형식”. 《수학노트》. 
• 이철희. “대칭 겹선형 형식과 이차형식”. 《수학노트》.