완전체

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추상대수학에서 완전체(完全體, 영어: perfect field)는 그 갈루아 이론이 특별히 단순한 체이다.

정의

체 $K$에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이다. 이 조건을 만족시키는 체를 완전체라고 하며, 완전체가 아닌 체를 불완전체(영어: imperfect field)라고 한다.

• $K$에 대한 기약 다항식은 분해 가능 다항식하다.
• $K$의 모든 유한 확대는 분해 가능 확대이다.
• $K$의 모든 대수적 확대는 분해 가능 확대이다.
• $K$의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$인 경우 모든 $a\in K$에 대하여 $b^p=a$인 $b$가 존재한다.
• $K$의 표수가 0이거나, 아니면 표수가 $p>0$인 경우 프로베니우스 사상 $a\mapsto a^p$이 $K$의 자기 동형 사상을 이룬다.

증명:

첫째·둘째·셋째 조건은 분해 가능 확대의 정의에 따라 자명하게 동치이다. 표수가 $p>0$인 경우 프로베니우스 사상은 항상 $K$의 단사 자기 준동형이므로, 넷째 조건과 다섯째 조건이 서로 동치이다.

첫째 조건 ⇒ 넷째 조건. $K$에 대한 기약 다항식이 분해 가능 다항식이며, $K$의 표수가 $p>0$이며, $b\in \overline{K}$이며, $b^p\in K$일 때, $b\in K$임을 보이면 충분하다. $f\in K[x]$가 $b$의 최소 다항식이라고 하자. $b$는 다항식

$(x-b{)}^p=x^p-b^p\in K[x]$

의 근이므로, $f(x)$는 이 다항식을 나눈다.

$f(x)=(x-b{)}^n$

$1\le n\le p$

이라고 하자. $f(x)$는 기약 다항식이므로, 가정에 따라 분해 가능 다항식이다. 즉, $n=1$이다. $f\in K[x]$이므로, $b\in K$이다.

넷째 조건 ⇒ 첫째 조건. 만약 $K$의 표수가 0이라면, 임의의 기약 다항식 $f\in K[x]$에 대하여, $f^{\prime }\ne 0$이므로 $f$는 분해 가능 다항식이다. 이제, $K$의 표수가 0이며, 프로베니우스 사상 $a\mapsto a^p$이 전사 함수이며,

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots \in K[x]$

가 임의의 기약 다항식이며, 분해 가능 다항식이 아니라고 가정하자. 그렇다면,

$0=f^{\prime }(x)=a_1+2a_{2}x+\cdots$

이다. $i=0,1,2,\dots$에 대하여, $i{a}_i=0\in K$이므로, $p\nmid i$일 때 $a_i=0$이다. 이제, 임의의 $j=0,1,2,\dots$에 대하여, $a_{pj}=b_j^p$인 $b_j\in K$를 잡자. 그렇다면,

$\begin{array}{cc}f(x)& =a_0+a_p{x}^p+a_{2p}{x}^{2p}+\cdots \\ & =b_0^p+b_1^p{x}^p+b_2^p{x}^{2p}+\cdots \\ & =(b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots {)}^p\end{array}$

이다. 이는 $f(x)$가 기약인 데 모순이다. 따라서, $K$에 대한 모든 기약 다항식은 분해 가능 다항식이다.

보다 일반적으로, 표수가 0이거나, 아니면 양의 소수 표수를 가지며 프로베니우스 사상이 자기 동형 사상을 이루는 가환환을 완전환(完全環, 영어: perfect ring)이라고 한다. (이는 하이먼 배스가 도입한 "완전환" 개념과는 다른 개념이다.)

완전 폐포

양의 표수 $p$의 체 $K$에 대하여, $K$를 포함하는 $\overline{K}$ 속의 가장 작은 체를 완전 폐포(完全閉包, 영어: perfect closure) $K^{p^{-\mathrm{\infty }}}$라고 한다. 이는 $k$에 모든 $n=1,2,3,\dots$에 대한 $p^n$제곱근을 첨가하여 얻는다.

$K^{p^{-\mathrm{\infty }}}=K(\bigcup _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\{a^{p^{-n}}:a\in K\})\subseteq \overline{K}$

보다 일반적으로, 소수 표수 $p$의 가환환 $R$의 완전 폐포 $\iota :R\to R^{p^{-\mathrm{\infty }}}$는 $R$를 포함하는 가장 작은 완전환이다. 즉, 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

임의의 표수 $p$의 완전환 $S$ 및 환 준동형 ${\iota }^{\prime }:R\to S$에 대하여, ${\iota }^{\prime }=f\circ \iota$가 되는 환 준동형 $f:R^{p^{-\mathrm{\infty }}}\to S$가 유일하게 존재한다.

$\begin{array}{ccc}{R}^{p^{-\mathrm{\infty }}}& \stackrel{\mathrm{\exists }!}{\to }& S\\ \uparrow & \nearrow \\ R\end{array}$

이는 항상 존재하며, 체의 경우와 마찬가지로 모든 $p^n$제곱근들을 첨가하여 얻는다.

예

대수기하학을 제외하고, 수학에서 등장하는 대부분의 체들은 완전체이다.

• 표수가 0인 체는 완전체이다. 따라서, 실수체·복소수체·p진수체 등이 모두 완전체이다.
• 모든 유한체 ${𝔽}_{p^n}$ 또한 완전체이다.
• 모든 대수적으로 닫힌 체는 (표수가 0이 아니더라도) 완전체이다.

완전체가 아닌 체의 예로는 표수가 $p$인 체 $K$에 대한 유리 함수체 $K(x)$가 있다. $x\in K(x)$의 경우 $\sqrt[p]{x}$가 존재하지 않기 때문이다.

같이 보기

• 반완전환

외부 링크

• “Perfect field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Perfect field” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Perfect field” (영어). 《nLab》.