잉여류

파일:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg

$G=\mathbb{Z}/8$ 속의, $H=\{0,4\}\cong \mathbb{Z}/2$의 잉여류들

군론에서 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋^[*])는 주어진 부분군에 의하여 결정되는 동치 관계의 동치류이다.

정의

$G$가 군이고, $H\le G$가 그 부분군이며, $g\in G$가 $G$의 원소일 때, $g$가 속하는 $H$의 왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

$gH=\{gh:h\in H\}$

마찬가지로, $g$가 속하는 $H$의 오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

$Hg=\{hg:h\in H\}$

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 $g+H$나 $H+g$로 표기한다.)

$G$ 속의 $H$의 모든 왼쪽 잉여류의 집합을 $G/H$라고 표기한다. (만약 $H$가 정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) $G/H$의 크기는 $|G:H|$라고 표기하며, $H$의 $G$ 속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 왼쪽 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간

$G$가 위상군이라고 하자. 그렇다면, 왼쪽 잉여류 집합 $G/H$는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질

군 $G$의 부분군 $H$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 $g\in G$에 대하여, $gH=Hg$이다.
• $H$는 $G$의 정규 부분군이다.

라그랑주 정리에 따르면, 만약 $G$가 유한군이라면, 부분군 $H\le G$의 지표는 다음과 같다.

$|G:H|=|G|/|H|$

만약 일련의 부분군들 $K\le H\le G$이 주어졌다면,

$|G:K|=|G:H||H:K|$

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, 유한군 $G$ 및 소수 $p$에 대하여, 만약 $p$가 $|G|$의 최소 소인수라면, 지표가 $p$인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

증명:

우선, 군 $G$와 부분군 $N\le G$가 주어졌고, $|G:N|=2$라고 하자. 그렇다면, 임의의 $g\in G$에 대하여

$gN=Ng=\{\begin{array}{cc}N& g\in N\\ G\setminus N& g\in ̸N\end{array}$

이다. 즉, $N$은 $G$의 정규 부분군이다.

유한군 $G$ 및 소수 $p$ 및 부분군 $N\le G$가 주어졌고, $p$가 $|G|$의 최소 소인수이며, $|G|/|N|=p$라고 하자. $N$이 정규 부분군이라는 사실을 증명하려면, 임의의 $g\in G\setminus N$에 대하여 $gN{g}^{-1}=N$임을 보이면 된다.

$H=gN{g}^{-1}\cap N\le N$

이라고 하자. 그렇다면 $|N|/|H|=1$임을 보이기만 하면 된다.

$|gN{g}^{-1}N|=|N{|}^2/|H|\le |G|$

이므로

$|N|/|H|\le |G|/|N|=p$

이다. $p$는 $|G|$의 최소 소인수이므로, $|N|/|H|=1$이거나 $|N|/|H|=p$이다. 만약 $|N|/|H|=p$라면,

$|gN{g}^{-1}N|=p|N|=|G|$

이므로 $G=gN{g}^{-1}N$이며, 특히

$g=gn{g}^{-1}{n}^{\prime }$

인 $n,n^{\prime }\in N$이 존재한다.

$g^{-1}=n^{-1}{n^{\prime }}^{-1}\in N$

이므로 $g\in G\setminus N$와 모순이다. (이 명제는 정규핵을 사용하여 증명할 수도 있다.)

예

정수의 덧셈군 $G=\mathbb{Z}$ 속의, $n$의 배수들로 구성된 부분군

$H=n\mathbb{Z}$

을 생각하자. 그렇다면, $k\in \mathbb{Z}$의 잉여류

$k+H=H+k=\{x\in \mathbb{Z}:x\equiv k(\mathrm{mod}n)\}\subseteq G$

는 $k$와 합동인 정수들의 집합이다. 이 경우 $H$는 정규 부분군이므로, 잉여류 공간 $G/H=\mathrm{Cyc}(n)$은 몫군을 이루며, 이는 크기 $n$의 순환군이다.

같이 보기

• 여차원
• 동차 공간
• 대칭 공간
• 이중 잉여류

외부 링크

• “Coset in a group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Coset” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Left coset” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Right coset” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Subgroup index” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Subgroup of least prime index is normal” (영어). 《Groupprops, The Group Properties Wiki》.