방향 (다양체)

미분기하학과 위상수학에서, 다양체의 방향(方向, 영어: orientation 오리엔테이션^[*])은 다양체 위에서 시계방향 및 반시계방향의 개념을 정의하는 구조이다. 향이 주어진 다양체를 유향 다양체(有向多樣體, oriented manifold)라고 한다. 향을 줄 수 있는 다양체를 가향 다양체(可向多樣體, orientable manifold)라고 한다. 예를 들어, 구는 방향을 줄 수 있지만, 클라인 병은 방향을 줄 수 없다.

정의

위상다양체의 방향

$M$ 이 $n$ 차원 위상다양체라고 하자. 다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 위상 동형이므로, 모든 점 $x \in M$ 에 대하여, 상대 호몰로지 군 $H_{n} (M, M ∖ {x})$ 은

H_{n} (M, M ∖ {x}) ≅ H_{n} (ℝ^{n} / (ℝ^{n} ∖ {0})) ≅ H_{n} (𝕊^{n}) ≅ ℤ

의 꼴이다.

이들을 줄기로 하는, 아벨 군 값의 국소 상수층 $ω_{M}$ 이 존재한다. 이를 $M$ 의 방향층(方向層, 영어: orientation sheaf)이라고 한다. 물론, 정수환 $ℤ$ 대신 다른 가환환 $R$ 계수를 사용할 수 있으며, 이 경우 $R$ -가군의 국소 상수층 $ω_{M} \otimes R$ 를 얻는다.

점 $x \in M$ 에서의 국소 방향(局所方向, 영어: local orientation)은 무한 순환군 $H_{n} (M, M ∖ {x})$ 의 두 생성원 가운데 하나이다.

$M$ 위의 방향은 방향층 $ω_{M}$ 의 단면 가운데, 각 점 $x \in X$ 에서 국소 방향을 이루는 것이다. 구체적으로, 이는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

열린 덮개 (Ui)i∈I. 또한, 각 i∈I에 대하여 Ui가 축약 가능 공간이라고 하자.
- 이에 따라, 임의의 $i \in I$ 에 대하여, $U_{i}$ 속의 임의의 두 점 $x, y \in U_{i}$ 에 대하여, 표준적인 군 동형 사상 $H_{n} (M, M ∖ {x}) ≅ H_{n} (M, M ∖ {y})$ 가 존재한다.
각 $i \in I$ 및 $U_{i}$ 속의 임의의 점 $x \in M$ 에 대하여, 국소 방향 $e_{x} \in H_{n} (M, M ∖ {x})$ . 또한, 위의 동형 사상을 통하여 임의의 $x^{'} \in U_{i}$ 속에 $(x^{'}, i)$ 에서의 국소 방향을 정의할 수 있다.

이는 다음 조건을 따라야 한다.

임의의 $i, j \in I$ 및 $x \in U_{i} \cap U_{j}$ 에 대하여, $(x, i)$ 에서의 국소 방향이 $(x, j)$ 에서의 국소 방향과 일치한다.

미분다양체의 방향

$M$ 이 $n$ 차원 매끄러운 다양체라고 하자. 그렇다면 $M$ 위의 방향은 항상 0이 아닌 $n$ 차 미분 형식의 동치류다. 만약 두 $n$ 차 미분 형식 $α$ , $β$ 가 $α = f β$ 의 꼴이고, $f$ 가 매끄러운 함수이며, 항상 0이 아닌 함수라면 $α \sim β$ 로 간주한다.

이 정의는 위상다양체의 방향의 정의와 동치이다.

연산

같은 차원의 두 다양체 $M$ , $N$ 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 분리합집합 $M ⊔ N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

(서로 다른 차원을 가질 수 있는) 두 다양체 $M$ , $N$ 의 방향이 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱공간 $M \times N$ 역시 표준적인 방향을 갖는다.

유향 다양체 $M$ 의 열린집합인 부분 다양체 역시 표준적인 방향을 갖는다. 그러나 이는 임의의 부분 다양체에 대하여 성립하지 않는다. (예를 들어, 뫼비우스의 띠는 방향을 가질 수 없지만, 방향을 가질 수 있는 3차원 유클리드 공간의 부분 다양체이다.)

성질

경계다양체

$n$ 차원 경계다양체 $(M, \partial M)$ 의 내부 $M ∖ \partial M$ 는 $n$ 차원 다양체를 이루며, $\partial M$ 은 $n - 1$ 차원 다양체를 이룬다. $M ∖ \partial M$ 의 방향이 주어졌을 때, 이는 $\partial M$ 의 방향을 표준적으로 결정한다. 즉, 경계다양체의 경우 내부의 방향이 경계의 방향을 결정한다. 특히, 가향 경계다양체의 경계는 가향 다양체이다.

복소다양체

모든 복소다양체는 표준적인 방향을 갖는다. 구체적으로, $n$ 차원 복소다양체 $M$ 의 열린 덮개 $(U_{i})_{i \in I}$ 의 복소수 국소 좌표계

(ϕ_{i} : U_{i} \to ℂ^{n})_{i \in I}

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 전이 함수

ϕ_{j} \circ ϕ_{i}^{- 1} : ϕ_{i}^{- 1} (U_{i} \cap U_{j}) \to ℂ^{n}

는 정칙 함수이므로 방향을 보존하며, 따라서 이는 $M$ 의 방향을 정의한다.

외부 링크

“Orientation” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Manifold orientation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Goldberg, Timothy E. (2007년 11월 11일). “The Orientation Manifesto (for Undergraduates)” (PDF).