일반화 복소다양체

미분기하학에서 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)는 복소다양체와 심플렉틱 다양체의 공통적인 일반화이다. 물리학적으로, 캘브-라몽 장 $B$ 가 존재하는 IIB 초끈 이론 축소화를 나타낸다.

정의

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 일반화 개복소구조(一般化槪複素構造, 영어: generalized almost complex structure)는 실수 벡터 다발 $T M \oplus T^{*} M$ 위의 개복소구조이다. 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 다발 사상 $J : T M \oplus T^{*} M \to T M \oplus T^{*} M$ 이다.

$J^{2} = - id$
$⟨ J (X + ξ), J (Y + η) ⟩ = ⟨ X, η ⟩ + ⟨ Y, ξ ⟩$

여기서 $⟨, ⟩$ 는 부호수 $(n, n)$ 의 자연스러운 내적 사상이다. 일반화 개복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 개복소다양체(一般化槪複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

일반화 개복소다양체 위의 일반화 정칙접다발(영어: generalized holomorphic tangent bundle)은 다음과 같은 복소수 벡터 다발이다.

E = {X + ξ \in Γ ((T M \oplus T^{*} M) \otimes ℂ) : J (X + ξ) = i (X + ξ)}

이에 따라

(T M \oplus T^{*} M) \otimes C ≅ E \oplus \bar{E}

가 된다.

$T M \oplus T^{*} M$ 의 두 매끄러운 단면 $X + ξ$ , $Y + η$ 에 대하여, 다음과 같이 쿠란트 괄호(Courant括弧, 영어: Courant bracket)를 정의하자.

[X + ξ, Y + η] = [X, Y] + ℒ_{X} η - ℒ_{Y} ξ - \frac{1}{2} d (⟨ X, η ⟩ - ⟨ Y, ξ ⟩)

여기서 $ℒ_{X}$ 는 리 미분이며, $d$ 는 외미분이다.

일반화 개복소구조 가운데, $E$ 의 매끄러운 단면들이 쿠란트 괄호에 대하여 닫혀 있는 것들을 일반화 복소구조(一般化複素構造, 영어: generalized complex structure)라고 하며, 일반화 복소구조가 주어진 매끄러운 다양체를 일반화 복소다양체(一般化複素多樣體, 영어: generalized complex manifold)라고 한다.

순수 스피너

$n$ 차원 실수 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, $V \oplus V^{*}$ 위에는 자연스러운 $SO (n, n)$ 구조가 존재한다. 이 경우, 리 대수의 작용은

𝔰 𝔬 (V \oplus V^{*}) ≅ 𝔤 𝔩 (V; ℝ) \oplus ⋀^{2} V^{*} \oplus ⋀^{2} V

이다.

$V \oplus V^{*}$ 는 외대수 $⋀^{∙} V^{*}$ 위에 다음과 같은 작용을 갖는다.

(X + η) \cdot ϕ = ι (X) ϕ + ξ \land ϕ

이 경우

(X + η) \cdot ((X + η) \cdot ϕ) = ⟨ X, η ⟩ ϕ

이며, 이는 디랙 행렬과 같은 형태이다. 이를 사용하여, $V \oplus V^{*}$ 의 디랙 스피너 공간을 다음과 같이 표준적으로 나타낼 수 있다.

Δ (V \oplus V^{*}) ≅ \sqrt{⋀^{n} V} \otimes ⋀^{∙} V^{*}

이는 짝수 차원 디랙 스피너 공간이며, 이는 바일 스피너 공간의 직합으로 나타낼 수 있다.

Δ (V \oplus V^{*}) = Δ^{+} (V \oplus V^{*}) \oplus Δ^{-} (V \oplus V^{*})

Δ^{+} (V \oplus V^{*}) ≅ \sqrt{⋀^{n} V} \otimes ⋀^{2 ∙} V^{*}

Δ^{-} (V \oplus V^{*}) ≅ \sqrt{⋀^{n} V} \otimes ⋀^{2 ∙ + 1} V^{*}

스피너 $ϕ \in Δ^{\pm} (V \oplus V^{*})$ 가운데,

\dim \ker (\cdot ϕ) = \dim {X + η \in V \oplus V^{*} : (X + η) \cdot ϕ = 0} = n

인 것을 $V \oplus V^{*}$ 의 순수 스피너(純粹spinor, 영어: pure spinor)라고 한다.

이 모든 정의들은 벡터 공간 대신, 매끄러운 다양체 위의 벡터 다발에 대하여 정의할 수 있다.

일반화 칼라비-야우 다양체

매끄러운 다양체 $M$ 의 일반화 접다발 $T M \oplus T^{*} M$ 이 자명한 순수 스피너 복소수 선다발을 갖는다면, $(M, E)$ 를 일반화 칼라비-야우 다양체라고 한다. 즉,

ϕ \in Ω^{\pm} M \otimes ℂ

가 $T M \oplus T^{*} M$ 의 순수 스피너이며, $d ϕ = 0$ 이며, 또한 모든 곳에서 $⟨ ϕ, \bar{ϕ} ⟩ \neq 0$ 이라면 $M$ 은 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

일반화 칼라비-야우 다양체 $(M, ϕ)$ 가 주어졌을 때, $\ker (\cdot ϕ) \subset (T M \oplus T^{*} M) \otimes ℂ$ 은 $M$ 위의 일반화 복소구조를 정의한다. 즉, 모든 일반화 칼라비-야우 다양체는 일반화 복소다양체를 이룬다.

예

복소다양체

모든 복소다양체는 자명하게 일반화 복소다양체를 이루며, 모든 칼라비-야우 다양체는 자명하게 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. 복소수 $k$ 차원 복소다양체 $M$ 의 경우, $E$ 는 정칙 벡터장 및 $(1, 0)$ -복소수 미분 형식들의 다발의 직합이다.

E = T^{+} M \oplus Ω^{1, 0} M

이 경우, 순수 스피너는 $(k, 0)$ -복소수 미분 형식이며, 칼라비-야우 다양체의 경우 정칙 부피 형식 $Ω \in Γ (Ω^{k, 0} M)$ 이 존재하므로 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

심플렉틱 다양체

모든 심플렉틱 다양체 역시 일반화 복소다양체를 이루며, 또한 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룬다. $2 k$ 차원 심플렉틱 다양체 $(M, ω)$ 가 주어졌을 때, 순수 스피너는 다음과 같은 꼴의 복소수 미분 형식이다.

\exp (i ω) f (f \in 𝒞^{\infty} (M, ℂ))

순수 스피너의 다발은 항상 자명하므로, 이는 항상 일반화 칼라비-야우 다양체를 이룸을 알 수 있다. 이 경우, 일반화 정칙 접다발은 다음과 같은 꼴의 원소들로 구성된다.

X - i ω (X, -) (X \in Γ (T M))

역사

나이절 히친이 2002년에 거울 대칭을 다루기 위하여 도입하였다.^[1] 이후 히친의 박사 과정 학생인 마르코 괄티에리(이탈리아어: Marco Gualtieri)가 박사 학위 논문에서 이를 체계적으로 연구하였다.^[2]

각주

↑ Hitchin, Nigel J. (2003). “Generalized Calabi–Yau manifolds” (영어). 《The Quarterly Journal of Mathematics》 54: 281-308. arXiv:math/0209099. Bibcode:2002math......9099H. doi:10.1093/qmath/hag025.
↑ Gualtieri, Marco (2003). 《Generalized complex geometry》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 N. J. Hitchin). 옥스퍼드 대학교. arXiv:math/0401221. Bibcode:2004math......1221G.

Gualtieri, Marco (2007). “Generalized complex geometry” (영어). arXiv:math/0703298. Bibcode:2007math......3298G.
Graña, Mariana (2006). “Flux compactifications in string theory: a comprehensive review” (영어). 《Physics Reports》 423: 91-158. arXiv:hep-th/0509003. Bibcode:2006PhR...423...91G. doi:10.1016/j.physrep.2005.10.008.

외부 링크

“Generalized complex geometry” (영어). 《nLab》.
“Generalized Calabi-Yau manifold” (영어). 《nLab》.
“Generalized tangent bundle” (영어). 《nLab》.
“Generalized vielbein” (영어). 《nLab》.
“Generalized G2-manifold” (영어). 《nLab》.
“Exceptional generalized geometry” (영어). 《nLab》.

[1] Hitchin, Nigel J. (2003). “Generalized Calabi–Yau manifolds” (영어). 《The Quarterly Journal of Mathematics》 54: 281-308. arXiv:math/0209099. Bibcode:2002math......9099H. doi:10.1093/qmath/hag025.

[2] Gualtieri, Marco (2003). 《Generalized complex geometry》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 N. J. Hitchin). 옥스퍼드 대학교. arXiv:math/0401221. Bibcode:2004math......1221G.

[1]

[2]