분수체

추상대수학에서 분수체(分數體, 영어: field of fractions)는 정역에 대하여 정의할 수 있는 체이다. 예를 들어, 정수환의 분수체는 유리수체다. 일반적인 가환환의 국소화의 특수한 경우다.

정의

(곱셈 항등원을 갖는) 환 $R$에 대하여,

$S=R\setminus (\{r\in R:0\in rR\}\cup \{r\in R:0\in Rr\})$

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, $(R,S)$가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, $R$의 전분수환(全分數體, 영어: total ring of fractions) $\mathrm{Frac}(R)$는 국소화 $S^{-1}R$이다. 이 경우, 오레 조건에 의하여 단사 함수인 환 준동형

$R\to \mathrm{Frac}R$

이 존재하며, $R$는 그 전분수환의 부분환을 이룬다.

만약 $R$가 가환환일 경우, 오레 조건은 자동적으로 성립한다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 가환환의 전분수환은 항상 가환환이다. 특히, 만약 $R$가 (가환) 정역일 경우 이는 체를 이루며, $\mathrm{Frac}R$를 $R$의 분수체라고 한다.

구성

$R$가 정역일 경우, 분수체는 일반적인 국소화보다 간단하게 구성할 수 있다.

순서쌍 $(a,b)$ ($a,b\in R$, $b\ne 0$)들에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

$(a,b)\sim (ar,br)\mathrm{\forall }r\in R\setminus \{0\}$

이러한 순서쌍의 동치류를 $a/b$라고 쓰자.

이러한 순서쌍들의 동치류들의 집합에, 다음과 같이 체의 구조를 줄 수 있다.

$\frac{a}{b}\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

이는 분수체 $\mathrm{Frac}R$이며, 표준적인 단사 환 준동형

$R\to \mathrm{Frac}R$

$r\mapsto \frac{r}{1}$

이 존재한다.

성질

환 $R$의 전분수환이 특별한 성질을 가질 충분조건은 다음과 같다.

충분조건	전분수환의 성질	비고
오른쪽 뇌터 반소환	반단순환 (즉, 아르틴-웨더번 정리에 따라 유한 개의 나눗셈환들에 대한 행렬환들의 직접곱과 동형)	골디 정리
왼쪽 뇌터 반소환
오른쪽 뇌터 소환	나눗셈환 위의 행렬환과 동형	골디 정리:Theorem 7.1
왼쪽 뇌터 소환
가환 뇌터 축소환	가환 반단순환 (즉, 유한 개의 체들의 직접곱과 동형)	:42, Exercise 6.5
오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역	나눗셈환
왼쪽 오레 조건을 만족시키는 영역
정역	체

골디 정리(영어: Goldie’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 오른쪽 뇌터 반소환 $R$는 오른쪽 오레 조건을 만족시키며, $\mathrm{Frac}(R)$는 반단순환이다.
  • 특히, 만약 $R$가 오른쪽 뇌터 소환이라면 $\mathrm{Frac}(R)$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.
• 오른쪽 뇌터 반소환은 왼쪽 오레 조건을 만족시키며, $\mathrm{Frac}(R)$는 반단순환이다.
  • 특히, 만약 $R$가 왼쪽 뇌터 소환이라면 $\mathrm{Frac}(R)$는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

골디 정리에서, 만약 $R$가 가환환이라고 한다면, 반소환 조건은 축소환 조건과 같아진다. 가환환의 국소화는 가환환이므로, 만약 $R$가 가환 뇌터 축소환인 경우, $\mathrm{Frac}R$는 유한 개의 체들의 직접곱이다. 구체적으로, $R$의 소 아이디얼 가운데, 포함 관계에 따라 극소 원소인 것을 ${𝔭}_1,\dots ,{𝔭}_n$이라고 하자. (그 수는 항상 유한함을 보일 수 있다.) 그렇다면

$\mathrm{Frac}(R)\cong \prod _{i=1}^n\mathrm{Frac}(R/{𝔭}_i)$

이다. 우변에서 $R/{𝔭}_i$는 모두 정역이므로, 우변은 유한 개의 체들의 직접곱이다.

만약 $R$가 왼쪽 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시키는 영역이라면, $\mathrm{Frac}(R)$는 항상 나눗셈환이며, $R$는 그 부분환을 이룬다. (오레 조건 없이는 이는 일반적으로 성립하지 않는다.) 만약 $R$가 정역이라면 물론 $\mathrm{Frac}(R)$는 체이다.

예

수체 $K$의 대수적 정수환 ${𝒪}_K$의 분수체는 $K$이다.

$\mathrm{Frac}{𝒪}_K=K$

특히, (유리수의) 정수환 $\mathbb{Z}={𝒪}_{\mathbb{Q}}$의 분수체는 유리수체이다.

$\mathrm{Frac}\mathbb{Z}=\mathbb{Q}$

체의 분수체는 스스로이다. 즉, 임의의 체 $K$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mathrm{Frac}K=K$

다항식환의 분수체는 유리 함수체이다. 즉, 임의의 체 $K$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mathrm{Frac}K[x_1,x_2,\dots ,x_n]=K(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

응용

대수기하학에서, 분수체의 개념은 스킴의 유리 함수층의 개념으로 일반화된다. 만약 스킴이 아핀 정역 스킴인 경우 이는 단순히 각 열린집합에서 단면 가환환의 분수체를 취하는 것이다. 스킴이 정역 스킴이 아닌 경우, 일반적으로는 단순히 전분수환을 취하는 것보다 더 복잡한 구성을 취해야 한다.

역사

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.^:299:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.^:300 오레 조건을 만족시키는 영역의 전분수환은 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.^:466:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.^:300)

골디 정리는 앨프리드 윌리엄 골디(영어: Alfred William Goldie, 1920~2005)가 도입하였다.

각주

• Cohn, P. M. (1971년 6월). “Rings of fractions” (PDF) (영어). 《The American Mathematical Monthly》 78 (6): 596–615. doi:10.2307/2316568. JSTOR 2316568. 2016년 3월 7일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 3월 7일에 확인함. 

외부 링크

• “Field of fractions” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Fractions, ring of” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Field of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Total ring of fractions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Field of fractions” (영어). 《nLab》.