복소수 미분 형식

미분기하학에서 복소수 미분 형식(複素數微分形式, 영어: complex differential form)은 복소다양체 위에 정의한 미분 형식이다. (실수) 매끄러운 다양체 위의 미분 형식과는 달리, 정칙 형식 · 돌보 코호몰로지 등의 개념을 정의할 수 있다.

정의

$n$차원의 복소다양체 $M$을 생각하자. 그렇다면, 그 접다발의 복소화 ${\mathrm{T}}^{ℂ}M$는 복소구조 $J:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}M$, $J^2=-1$의 고윳값 $\pm \mathrm{i}$에 따른 고유 공간

${\mathrm{T}}^{ℂ}M={\mathrm{T}}^{+}M\oplus {\mathrm{T}}^{-}M$

으로 분해되며, 이들은 각각 복소수 벡터 다발을 이룬다. 이 가운데 ${\mathrm{T}}^{+}M$은 항상 정칙 벡터 다발이지만, ${\mathrm{T}}^{-}M$은 일반적으로 그렇지 않다.

이들에 각각 올별 복소수 쌍대 공간을 취하면, 복소수 벡터 다발

${\mathrm{T}}^{+*}M={\Omega }^{1,0}M$

${\mathrm{T}}^{-*}M={\Omega }^{0,1}M$

을 얻는다. 이들의 쐐기곱을 취하여 복소수 벡터 다발

${\Omega }^{p,q}=\underset{p}{\underbrace{{\Omega }^{1,0}M\wedge \cdots \wedge {\Omega }^{1,0}M}}\wedge \underset{q}{\underbrace{{\Omega }^{0,1}M\wedge \cdots \wedge {\Omega }^{0,1}M}}$

을 취할 수 있다. (만약 $q=0$이라면 이는 역시 정칙 벡터 다발이다.) 이 다발의 매끄러운 단면을 $(p,q)$차 복소수 미분 형식이라고 한다.

${\Omega }^{p,0}$은 정칙 벡터 다발이므로, 정칙 단면의 개념을 정의할 수 있다. ${\Omega }^{p,0}$의 정칙 단면을 $p$차 정칙 미분 형식(正則微分形式, 영어: holomorphic differential form)이라고 한다.

보다 일반적으로, 복소다양체 $M$ 위의 정칙 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $E$값의 복소수 미분 형식(영어: $E$-valued complex differential form)을 ${\Omega }^{p,q}{\otimes }_{ℂ}E$의 매끄러운 단면으로 정의할 수 있다. 마찬가지로, $E$값의 $p$차 정칙 미분 형식은 정칙 벡터 다발 ${\Omega }^{p,0}{\otimes }_{ℂ}E$의 정칙 단면이다.

국소 좌표계로의 표현

국소적으로, $M$의 임의의 점의 근방 $U$에 복소수 좌표 $z^i,{\overline{z}}^i$ ($i=1\dots n$)를 잡을 수 있다. 이에 따라 실수 다양체와 마찬가지로 국소적으로 복소수 미분 형식

$\mathrm{d}{z}^i\in {\Omega }^{1,0}(U)(i\in \{1,\dots ,n\})$

$\mathrm{d}{\overline{z}}^i\in {\Omega }^{0,1}(U)(i\in \{1,\dots ,n\})$

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 일반적인 복소수 미분 형식은 국소적으로

$\alpha =\sum _{i,j,\dots ,k,l,\dots }{f}_{ij\dots kl\dots }\mathrm{d}{z}^i\wedge \mathrm{d}{z}^j\wedge \cdots \mathrm{d}{\overline{z}}^k\wedge \mathrm{d}{\overline{z}}^l\wedge \cdots$

$f_{ij\dots kl\dots }\in {𝒞}^{\mathrm{\infty }}(U,ℂ)$

꼴의 형식을 취한다. 여기서 $\mathrm{d}z$가 $p$ 개, $\mathrm{d}\overline{z}$가 $q$개 있으면 이를 $(p,q)$-형식으로 부른다.

국소 좌표계로는 p차 정칙 미분 형식 $\alpha$는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\alpha =\sum _{|I|=p}{f}_I\mathrm{d}{z}^I$

여기서 $f_I:U\to ℂ$는 정칙 함수다. 즉, $p$차 정칙 미분 형식은

$\overline{\partial }\alpha =0$

을 만족하는 $(p,0)$차 복소수 미분 형식 $\alpha$이다.

성질

실수 미분 형식과의 관계

복소다양체 $M$은 복소구조를 잊으면 매끄러운 다양체이므로, 그 위에 (실수) 미분 형식을 정의할 수 있다. 이 경우

$({\mathrm{T}}^{*}M{)}^{ℂ}={\Omega }^{1,0}M\oplus {\Omega }^{0,1}M$

이므로,

${\Omega }^k(M){\otimes }_{ℝ}ℂ={\Omega }^k(M;ℂ)=\underset{q=0}{\overset{k}{⨁}}{\Omega }^{k-q,q}(M)$

이 된다.

이 경우, 외미분

$\mathrm{d}:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k+1}(M)$

은 돌보 복합체의 추가 등급에 따라서 분해되는데, 이 경우 항상

${\mathrm{d}}^{ℂ}:{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{p,q+1}(M)\oplus {\Omega }^{p+1,q}(M)$

임을 보일 수 있다. 즉,

$\partial :{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{p+1,q}(M)$

$\overline{\partial }:{\Omega }^{p,q}(M)\to {\Omega }^{p,q+1}(M)$

로 정의하면,

$\mathrm{d}=\partial +\overline{\partial }$

이다. 이 두 미분 연산자 $\partial$과 $\overline{\partial }$을 돌보 연산자(Dolbeault演算子, 영어: Dolbeault operator)라고 부른다.

국소 좌표계로는 돌보 연산자를 외미분과 유사하게 정의할 수 있다. 즉 $(p,q)$-형식 $\alpha$의 경우,

$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}{f}_{IJ}d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J\in {\Omega }^{p,q}$

그 돌보 연산자는 다음과 같다.

$\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}d{z}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J$

$\overline{\partial }\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial {\overline{z}}^{\ell }}d{\overline{z}}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J$

여기서 $I$, $J$는 다중지표다.

돌보 코호몰로지

복소다양체의 돌보 연산자들은 다음과 같은 항등식들을 만족시킨다.

${\partial }^2={\overline{\partial }}^2=\partial \overline{\partial }+\overline{\partial }\partial =0$

따라서 $\partial$ 또는 $\overline{\partial }$로서 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 가운데, $\overline{\partial }$로 정의되는 것은 ${\Omega }^{p,0}$의 정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산하며, 반대로 $\partial$로 정의되는 것은 $\Omega 0,q$의 반정칙 단면의 층의 코호몰로지를 계산한다. 보통 정칙 함수 및 정칙 단면의 개념을 사용하므로, 보통 $\overline{\partial }$로 정의되는 코호몰로지를 사용한다.

즉, 다음과 같은, 복소수 벡터 공간(의 층)으로 구성된 사슬 복합체를 생각하자.

${\Omega }^{p,0}\stackrel{{\overline{\partial }}_0}{\to }{\Omega }^{p,1}\stackrel{{\overline{\partial }}_1}{\to }{\Omega }^{p,2}\stackrel{{\overline{\partial }}_2}{\to }\cdots$

그 코호몰로지는 다음과 같이 $(p,q)$-형식의 동치류 공간이다.

${\mathrm{H}}_{\overline{\partial }}^{p,q}=\ker {\overline{\partial }}_q/\mathrm{im}{\overline{\partial }}_{q-1}$

이를 돌보 코호몰로지(영어: Dolbeault cohomology)라고 부른다. 돌보 코호몰로지 공간의 (복소수 벡터 공간) 차원을 호지 수(영어: Hodge number)라고 부른다. 즉 호지 수 $h^{p,q}$는 다음과 같다.

$h^{p,q}=\dim {\mathrm{H}}_{\overline{\partial }}^{p,q}\in \mathbb{N}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$

호지 수는 (복소수 벡터 공간의 차원이므로) 음이 아닌 정수 또는 무한대이다. 만약 복소다양체가 콤팩트하면 호지 수는 유한하다.

호지 수는 드람 코호몰로지의 차원인 베티 수 $b^k$에 대응하며, 특히 다음이 성립한다.

$b^k(M)=\sum _{p+q=k}{h}^{p,q}(M)$

$n$차원 복소다양체는 총 $(n+1{)}^2$개의 호지 수

$h^{p,q}(p,q\in \{0,\dots ,n\})$

를 가진다. 이 가운데 $h^{0,0}=b^0$은 $M$의 연결 성분의 수이다. 또한, 콤팩트 연결 복소다양체의 경우 세르 쌍대성

${\mathrm{H}}^q(V,𝒪)\cong {\mathrm{H}}^q(V,{\Omega }^{n,0}{)}^{*}$

에 의하여

$h^{0,q}=h^{n,q}$

가 성립한다.

만약 $M$이 켈러 다양체의 구조를 가질 경우, 항상

$h^{p,q}=h^{q,p}=h^{n-p,n-q}$

가 성립한다.

층 코호몰로지

돌보 복합체

$0\to {\Omega }^{p,0}(M)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\Omega }^{p,1}(M)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\Omega }^{p,2}(M)\to \cdots$

는 섬세층으로 구성되며, $p$차 정칙 단면들의 층의 분해를 이룬다. 즉, 그 코호몰로지는 $p$차 정칙 단면의 층의 층 코호몰로지와 같다.

${\mathrm{H}}_{\overline{\partial }}^{p,q}(M)\cong {\mathrm{H}}^q(M,{\Omega }^{p,0})$

이를 돌보 정리(영어: Dolbeault's theorem)라고 한다. 특히, 만약 $p=0$일 경우, 0차 정칙 미분 형식은 정칙 함수이므로, 돌보 복합체는 구조층의 코호몰로지를 계산한다.

이는 실수 미분 형식의 경우 드람 코호몰로지가 상수층 $\underset{\_}{ℝ}$의 섬세한 분해를 이루는 것과 마찬가지다.

보다 일반적으로, 임의의 정칙 벡터 다발 $E$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 돌보 복합체

$0\to {\Gamma }^{\mathrm{\infty }}(E)={\Omega }^{0,0}(M;E)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\Omega }^{0,1}(M;E)\stackrel{\overline{\partial }}{\to }{\Omega }^{0,2}(M;E)\to \cdots$

는 $E$의 층 코호몰로지의, 섬세층으로 구성된 분해를 이루며, 그 돌보 코호몰로지는 $E$의 층 코호몰로지와 일치한다. ($p>0$인 경우는 정칙 벡터 다발 $E^{\prime }=E{\otimes }_{ℂ}{\Omega }^{p,0}$의 층 코호몰로지이므로, $p=0$인 경우로 귀결된다.) 예를 들어

${\mathrm{H}}^0(E)=\ker (\overline{\partial }\upharpoonright {\Omega }^{0,0}(M;E))$

는 $\overline{\partial }\alpha =0$인 $E$ 값의 (0,0)차 미분 형식의 복소수 벡터 공간, 즉 $E$의 정칙 단면의 복소수 벡터 공간이다.

예

리만 구 ${ℂ\mathrm{P}}^1$ 위의 모든 정칙 벡터 다발은 다음과 같은 꼴이다.

$\underset{i}{⨁}𝒪(d_i)$

여기서 $𝒪(d)$는 $d$차의 유일한 정칙 선다발이다. 이는 복소수 1차원이므로 ${\Omega }^{1,0}$은 표준 선다발과 같으며, 이는 $𝒪(-2)$이다. (리만-로흐 정리에 의하여, 종수 $g$의 리만 곡면의 표준 선다발의 차수는 $2g-2$이며, 리만 구는 $g=0$인 경우이다.)

리만-로흐 정리에 의하여,

${\mathrm{H}}^{0,0}({\mathrm{CP}}^1)={\mathrm{H}}^0({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(0))=ℂ$

${\mathrm{H}}^{1,0}({\mathrm{CP}}^1)={\mathrm{H}}^0({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(-2))=0$

이다. 즉,

• ${ℂ\mathrm{P}}^1$ 위에 대역적으로 정의되는 0차 정칙 미분 형식(즉, 정칙 함수)은 상수 함수 밖에 없다.
• ${ℂ\mathrm{P}}^1$ 위에는 대역적으로 정의되는 1차 정칙 미분 형식이 존재하지 않는다.

마찬가지로,

${\mathrm{H}}^{1,1}({ℂ\mathrm{P}}^1)={\mathrm{H}}^1({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(-2))={\mathrm{H}}^0({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(2){)}^{*}\cong ℂ$

${\mathrm{H}}^{0,1}({ℂ\mathrm{P}}^1)={\mathrm{H}}^1({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(0))={\mathrm{H}}^0({ℂ\mathrm{P}}^1,𝒪(-2){)}^{*}={\mathrm{H}}^{1,0}({ℂ\mathrm{P}}^1{)}^{*}=0$

이다. 여기서 세르 쌍대성을 사용하였다.

물론, ${ℂ\mathrm{P}}^1$ 위의 (0,0)차 및 (0,1)차 및 (1,0) 차 및 (1,1)차 복소수 미분 형식들의 공간은 각각 무한 차원의 복소수 벡터 공간이다.

외부 링크

• “Holomorphic form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complex form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Del bar operator” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Dolbeault cohomology” (영어). 《nLab》. 
• “Dolbeault complex” (영어). 《nLab》. 
• “Dolbeault-Dirac operator” (영어). 《nLab》.