초행렬

수학과 이론물리학에서 초행렬(超行列, 영어: supermatrix)은 초벡터 공간 사이의 사상을 나타내는 행렬이다.

정의

$(m|n)\times (p|q)$ 초행렬 $M$은 다음과 같은 구조로 이루어진 블록 행렬이다.

$M=\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right)$

여기서 $X_{00}$은 $m\times p$, $X_{01}$은 $m\times q$, $X_{10}$은 $n\times p$, $X_{11}$은 $n\times q$ 행렬이다. $(p|q)\times (p|q)$ 행렬을 정사각초행렬(영어: square supermatrix)이라고 한다.

연산

덧셈과 곱셈

같은 크기의 초행렬들은 서로 더할 수 있다. 덧셈은 일반 행렬과 마찬가지로, 각 성분을 더한다.

$\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}{Y}_{00}& Y_{01}\\ Y_{10}& Y_{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}+Y_{00}& X_{01}+Y_{01}\\ X_{10}+Y_{10}& X_{11}+Y_{11}\end{array}\right)$

$(m|n)\times (p|q)$ 초행렬과 $(p|q)\times (r|s)$ 초행렬을 곱하여 $(m|n)\times (r|s)$ 초행렬을 얻을 수 있다. 그 곱은 다음과 같다.

$\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{Y}_{00}& Y_{01}\\ Y_{10}& Y_{11}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}{Y}_{00}+X_{01}{Y}_{10}& X_{01}{Y}_{11}+X_{00}{Y}_{01}\\ X_{10}{Y}_{00}+X_{11}{Y}_{10}& X_{10}{Y}_{01}+X_{11}{Y}_{11}\end{array}\right)$

초대각합과 초행렬식

정사각초행렬 $X$ 의 초대각합(超對角合, 영어: supertrace) $\mathrm{str}X$는 다음과 같다.

$\mathrm{str}\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right)=\mathrm{tr}{X}_{00}-\mathrm{tr}{X}_{11}$

정사각초행렬 $X$ 의 초행렬식(超行列式, 영어: superdeterminant) 또는 베레지니언(영어: Berezinian) $\mathrm{sdet}X$는 다음과 같다.

$\mathrm{sdet}\left(\begin{array}{cc}{X}_{00}& X_{01}\\ X_{10}& X_{11}\end{array}\right)=\det (X_{00}-X_{01}{X}_{11}^{-1}{X}_{10})\det (X_{11}^{-1})$

이들은 다음을 만족시킨다.

$\mathrm{sdet}\exp X=\exp \mathrm{str}X$

참고 문헌

• Varadarajan, V. S. (2004). 《Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction》. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2. 
• Deligne, Pierre; John W. Morgan (1999). 〈Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)〉. 《Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians》 1. American Mathematical Society. 41–97쪽. ISBN 0-8218-2012-5.