축소 호몰로지

축소 호몰로지(reduced homology)와 축소 코호몰로지(reduced cohomology)는 호몰로지 군에 약간 수정을 가한 것이다.

배경

비어 있지 않은 위상 공간의 0차 호몰로지 군은 자명하지 않기 때문에 많은 경우에서 예외가 생길 수 있다. 예를 들어 가장 간단한 공간인 한원소 공간의 호몰로지는 0차에서만 $\mathbb{Z}$가 된다. 초구 ${𝕊}^n$의 호몰로지도 n차와 별도로 0차에서 $\mathbb{Z}$이 된다.

${\mathrm{H}}_k(\{\bullet \})=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& k=0\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

${\mathrm{H}}_k({𝕊}^n)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& k=0,n\\ 0& \text{otherwise.}\end{array}$

만약 0차 호몰로지 · 코호몰로지 군의 $\mathbb{Z}$이 하나 줄어들 수 있다면, 편의상 이점이 생길 것이다.

정의

보통의 호몰로지는 다음과 같은 사슬 복합체에서 ${\mathrm{H}}_n(X)=\ker ({\partial }_n)/\mathrm{im}({\partial }_{n+1})$를 취해 만들어진다.

$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{⟶}{C}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\partial }_2}{⟶}{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{⟶}{C}_0\stackrel{{\partial }_0}{⟶}0$

위 사슬 복합체에 $\mathbb{Z}$와 사상 $ϵ:\sum _i{n}_i{\sigma }_i\mapsto \sum _i{n}_i$을 추가해 다음과 같은 복합체를 얻는다.

$\cdots \stackrel{{\partial }_{n+1}}{⟶}{C}_n\stackrel{{\partial }_n}{⟶}{C}_{n-1}\stackrel{{\partial }_{n-1}}{⟶}\cdots \stackrel{{\partial }_2}{⟶}{C}_1\stackrel{{\partial }_1}{⟶}{C}_0\stackrel{{\partial }_0=ϵ}{⟶}\mathbb{Z}\to 0$

위 복합체로 정의된 호몰로지 ${\tilde{\mathrm{H}}}_n(X)=\ker ({\partial }_n)/\mathrm{im}({\partial }_{n+1})$를 축소 호몰로지로 정의한다.

축소 코호몰로지도 마찬가지로 정의할 수 있다.

성질

축소 호몰로지는 원래 호몰로지에 비해 0차에서만 한 차원 낮고 나머지 차수에서는 동일하다.

$\begin{array}{cc}{H}_k(X)& \cong {\tilde{\mathrm{H}}}_k(X),k>0\\ H_0(X)& \cong {\tilde{\mathrm{H}}}_0(X)\oplus \mathbb{Z}\end{array}$

따라서 경로 연결 공간의 경우 ${\tilde{\mathrm{H}}}_0(X)\cong 0$이 된다.

사용

• 무어 공간은 축소 호몰로지가 한 차수를 제외하고 모두 0일 것을 요구한다.
• 알렉산더 쌍대성은 축소 (코)호몰로지를 쓰기 때문에 보다 간단하게 표현할 수 있다.

  ${\tilde{\mathrm{H}}}_k({𝕊}^n\setminus X)\cong {\tilde{\mathrm{H}}}^{n-k-1}(X)$