타원함수

복소해석학에서 타원함수(楕圓函數, 영어: elliptic function)는 복소 타원 곡선 위에 정의된 유리형 함수이다. 즉, 복소평면 위에 정의된, 두 개 방향으로 주기함수인 유리형 함수다.

정의

${\omega }_1,{\omega }_2\in ℂ$가 0이 아닌 복소수이고, 또한 그 비가 실수가 아니라고 하자.

• ${\omega }_1,{\omega }_2\ne 0$
• ${\omega }_1/{\omega }_2\in ̸ℝ$

그렇다면

$\Lambda =\{m{\omega }_1+n{\omega }_2:m,n\in \mathbb{Z}\}$

는 격자를 이루며,

$ℂ/\Lambda \equiv ℂ/(z\sim z+\Lambda )$

는 타원 곡선을 이룬다.

타원함수는 유리형 함수 $f:ℂ/\Lambda \to \widehat{ℂ}$이다. 여기서 $\widehat{ℂ}$는 리만 구이다. 이 경우, ${\omega }_1,{\omega }_2$를 $f$의 주기(영어: period)라고 한다.

분류

모든 타원함수는 바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(z)$로 나타낼 수 있다. 구체적으로, 어떤 주어진 복소 타원 곡선 $L$ 위의 타원함수들의 체 ${ℰ}_L$을 생각하자. 그렇다면 다음과 같은 동형이 존재한다.^:18

${ℰ}_L\cong ℂ(\mathrm{\wp },{\mathrm{\wp }}^{\prime })/(\mathrm{\wp }{\text{'}}^2-4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3)$

여기서 ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=d\mathrm{\wp }(z)/dz$이다. 다시 말해, 모든 타원 곡선은 바이어슈트라스 타원함수와 그 도함수에 대한 유리 함수로 나타낼 수 있다.

복소 타원곡선 $L$ 위의, 짝함수인 타원 함수들의 체 ${ℰ}_L^{+}$는 다음과 같다.^:18

${ℰ}_L^{+}\cong ℂ(\mathrm{\wp })$

예

대표적인 예로, 바이어슈트라스 타원함수 $\mathrm{\wp }(z;{\omega }_1,{\omega }_2)$와 야코비 타원함수 $\mathrm{sn}(z)$, $\mathrm{cn}(z)$, $\mathrm{dn}(z)$가 있다.

같이 보기

• 타원 적분
• 타원곡선
• 모듈러 군
• 세타 함수

각주

• Husemöller, Dale (2004). 《Elliptic Curves》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 111. New York: Springer. doi:10.1007/b97292. ISBN 978-0-387-95490-5. Zbl 1040.11043.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Rice, Adrian (2008년 6월). “In search of the “birthday” of elliptic functions” (영어). 《The Mathematical Intelligencer》 30 (2): 48–56. doi:10.1007/BF02985736. ISSN 0343-6993. Zbl 1176.01004. 

외부 링크

• “Elliptic function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic function” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• 이철희. “타원함수”. 《수학노트》.