대각합

선형대수학에서 대각합(對角合, 영어: trace 트레이스^[*], 독일어: Spur 슈푸어^[*])은 정사각 행렬의 주대각선 성분들의 합이다. 기호는 tr 또는 Sp.

정의

$n\times n$ 정사각 행렬 $A$의 대각합 $\mathrm{tr}(A)$는 다음과 같다.

$\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{A}_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}$

성질

함수로서, 대각합 $\mathrm{tr}:\mathrm{Mat}(n;K)\to K$는 선형 범함수이다. 즉, 임의의 $n$차 정사각 행렬 $A$, $B$와 스칼라 $c$에 대하여 다음이 성립한다.

$\mathrm{tr}(A+B)=\mathrm{tr}(A)+\mathrm{tr}(B)$

$\mathrm{tr}(cA)=c\mathrm{tr}(A)$

서로 전치 행렬의 대각합은 서로 같다. 이는 행렬을 전치했을 때 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.

$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{T}})$

임의의 $m\times n$ 행렬 $A$ 및 $n\times m$ 행렬 $B$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$

증명:

$\mathrm{tr}(AB)=\sum _{i=1}^m(AB{)}_{ii}=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{A}_{ij}{B}_{ji}=\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{B}_{ji}{A}_{ij}=\sum _{j=1}^n(BA{)}_{jj}=\mathrm{tr}(BA)$

대각합은 닮음 불변량이다. 즉, 서로 닮음 행렬의 대각합은 서로 같다. 즉, 임의의 $n$차 가역 행렬 $P$ 및 $n$차 정사각 행렬 $A$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}(A)$

증명:

$\mathrm{tr}(P^{-1}AP)=\mathrm{tr}((P^{-1}A)P)=\mathrm{tr}(P(P^{-1}A))=\mathrm{tr}(A)$

행렬의 대각합은 (중복도를 고려한) 고윳값들의 합과 같다. 사실 대각합은 행렬의 특성 다항식의 한 계수이다.

$\mathrm{tr}(A)=\sum _{\lambda \in \sigma (A)}\lambda$

같이 보기

• 스칼라 곡률
• 특성함수 (확률론)
• 체 대각합
• 골든-톰슨 부등식
• 대각합류 작용소

참고 문헌

• Jin Ho Kwak, Sungpyo Hong (2004). 《Linear Algebra》 2판 (영어). Birkhäuser. ISBN 0817642943.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Matrix trace” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.