푸앵카레 군

푸앵카레 군(Poincaré群, Poincaré group)은 민코프스키 공간의 대칭군이다. 공간 회전 3방향과 로런츠 변환 3방향, 공간 병진 3방향과 시간 병진 1방향으로 총 10차원의 리 군을 이룬다. 앙리 푸앵카레의 이름을 땄다. 기호로는 보통 ISO(3,1)을 쓴다. "ISO"는 "inhomogeneous special orthogonal group"의 약자로, 즉 로런츠 군 SO(3,1)에다 병진군 ${ℝ}^4$를 추가한 군이다.

정의

d 차원 푸앵카레 군은 병진 변환의 아벨 군 ${ℝ}^d$과 로런츠 군 $SO(d-1,1)$의 반직접곱이다. 즉,

$\mathrm{ISO}(d-1,1)={ℝ}^d⋊\mathrm{SO}(3,1)$

이다. 이때 사용되는 작용은 $\mathrm{SO}(d-1,1)$의 행렬로서의 자연스런 작용이다. 즉, $M\in \mathrm{SO}(d-1,1)$의 $v\in {ℝ}^d$에 대한 작용은

$M:v\to Mv$

이며, $Mv$는 행렬로서의 곱셈이다.

성질

d차원 민코프스키 공간에서의 푸앵카레 군의 차원은

$\dim \mathrm{ISO}(1,d-1)=d+\frac{d(d-1)}{2}=d(d+1)/2$

이다. 특히, 4차원 푸앵카레 변환은 10차원의 리 군을 이룬다.

푸앵카레 군 ISO(3,1)의 임의의 원소 $({\Lambda }_{\nu }^{\mu },a^{\mu })$은 사차원 벡터 $x^{\mu }$에 다음과 같이 작용한다.

$x^{\mu }\mapsto x^{\text{'}\mu }={{\Lambda }^{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$.

여기서 ${\Lambda }_{\nu }^{\mu }$는 임의의 로런츠 변환이고, $a^{\mu }$는 임의의 사차원 벡터다. 즉, 일반적인 푸앵카레 변환은 로런츠 변환과 사차원 병진 변환(translation)의 합성이다. 어떤 이론 또는 스칼라 값이 임의의 푸앵카레 변환 아래 불변이면 그 이론 또는 값이 푸앵카레 대칭성을 지닌다고 한다.

푸앵카레 변환은 민코프스키 공간의 내적

$x^{\mu }{x}_{\mu }=x^{\mu }{x}^{\nu }{\eta }_{\mu \nu }=(ct{)}^2-x^2-y^2-z^2$

을 보존한다. 따라서 푸앵카레 군은 민코프스키 공간에 대한 유클리드 군(Euclidean group, 유클리드 공간의 대칭군)에 해당하는 군으로 생각할 수 있다.

푸앵카레 변환 가운데 $a^{\mu }=0$인 경우는 로런츠 변환이고, 로런츠 변환으로 이루어진 리 군을 로런츠 군(Lorentz group, 기호 SO(3,1)), 로런츠 변환에 대한 대칭을 로런츠 대칭성(Lorentz symmetry)이라고 한다.

앞의 변환 $x^{\mu }\to x^{\text{'}\mu }={{\Lambda }^{\mu }}_{\nu }{x}^{\nu }+a^{\mu }$의 연산자를 $(\Lambda ,a)$라고 하면 다음과 같은 성질을 만족한다.

• $(\Lambda ,a)(M,b)=(\Lambda M,\Lambda b+a)$
• $(\Lambda ,a{)}^{-1}=({\Lambda }^{-1},-{\Lambda }^{-1}a)$
• $[(\Lambda ,a)(M,b)](N,c)=(\Lambda ,a)[(M,b)(N,c)]$

푸앵카레 군의 군 표현론은 위그너 분류라고 불린다.

리 대수

푸앵카레 대칭군의 리 대수는 다음과 같다.

이것은 등각 대칭이다.

$[P_{\mu },P_{\nu }]=0$

$[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=i({\eta }_{\mu \rho }{P}_{\nu }-{\eta }_{\nu \rho }{P}_{\mu })$

$[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i({\eta }_{\mu \rho }{M}_{\nu \sigma }-{\eta }_{\mu \sigma }{M}_{\nu \rho }-{\eta }_{\nu \rho }{M}_{\mu \sigma }+{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\mu \rho })$

역사

헤르만 민코프스키가 1908년에 도입하였다. 앙리 푸앵카레는 사실 푸앵카레 군에 대해 논하지 않았으나, 푸앵카레는 1905년에 로런츠 군이 군을 이룬다는 사실을 보였고, 푸앵카레의 이름을 따 명명되었다.

같이 보기

• 유클리드 군
• 위그너 분류
• 파울리-루반스키 벡터
• 입자물리학과 표현론의 관계

외부 링크

• “Poincaré group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Poincaré transformation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.