피카르 군

대수기하학에서 피카르 군(Picard群, 영어: Picard group)은 환 달린 공간 위에 존재하는 가역층들의 군이다.

정의

$X$ 가 환 달린 공간이라고 하자. 그렇다면 $X$ 위에 존재하는 가역층(가역 선다발)들의 집합을 생각하자. 이 집합에 텐서곱을 통해 군의 연산을 줄 수 있다. 이 군을 피카르 군 $Pic (X)$ 이라고 한다. 이는 층 코호몰로지를 사용하여

Pic (X) = H^{1} (X; 𝒪_{X}^{\times})

와 같이 정의할 수도 있다.

피카르 스킴

대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대한 사영 공간의 부분 스킴인 정역 스킴에 대하여, 피카르 군에 $K$ -스킴의 주조를 줄 수 있는데, 이를 피카르 스킴(영어: Picard scheme) ${Pic}_{X / K}$ 이라고 한다.^[1]

피카르 스킴에서, 원점을 포함하는 연결 성분을 ${Pic}^{0} (X)$ 라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

1 \to {Pic}^{0} (X) \to Pic (X) \to Pic (X) / {Pic}^{0} (X) \to 1

여기서 몫군 $Pic (X) / {Pic}^{0} (X)$ 을 네롱-세베리 군(영어: Néron–Severi group)이라고 하며, $NS (X)$ 로 쓴다. 네롱-세베리 군의 계수를 피카르 수(영어: Picard number) $ρ (X)$ 라고 한다. 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $N S_{tors} (X)$ 의 크기를 세베리 수(영어: Severi number)라고 한다.

성질

대수적으로 닫힌 체 위의 완비 비특이 대수다양체 $X$ 의 네롱-세베리 군은 유한 생성 아벨 군이며, (네롱-세베리 정리 영어: Néron–Severi theorem) 또한 네롱-세베리 군의 꼬임 부분군 $N S_{tors} (X)$ 은 쌍유리 동치에 대하여 불변이다.

예

체 $K$ 에 대한 $n$ 차원 사영 공간 $ℙ_{K}^{n}$ 의 경우, 가역층들은 $𝒪 (m)$ ( $m \in ℤ$ )이고, 이들은 $𝒪 (m_{1}) \otimes 𝒪 (m_{2}) ≅ 𝒪 (m_{1} + m_{2})$ 를 만족한다. 따라서 $ℙ_{K}^{n}$ 의 피카르 군은 무한 순환군 $ℤ$ 와 동형이다.

데데킨트 정역의 피카르 군은 그 아이디얼 유군이다.

체 $K$ 에 대하여, 두 개의 $Spec K [x]$ 를 0이 아닌 원소들의 열린 집합 $Spec K [x] ∖ Spec K [x] / (x)$ 에서 이어붙이면, 원점이 두 개인 아핀 직선을 얻는다. 이 경우, 피카르 군은 무한 순환군 $ℤ$ 와 동형이다.

역사

피카르 군은 에밀 피카르의 이름을 땄다. 네롱-세베리 군은 앙드레 네롱과 프란체스코 세베리의 이름을 땄다.

각주

↑ Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉 (영어). 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410.

외부 링크

“Picard group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Picard variety” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Picard scheme” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Néron-Severi group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
David Terr. “Picard group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

같이 보기

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[1] Kleiman, Steven L. (2005). 〈The Picard scheme〉 (영어). 《Fundamental algebraic geometry》. Math. Surveys Monogr. 123. American Mathematical Society. 235–321쪽. arXiv:math/0504020. MR 2223410.

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