상집합

순서론에서 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 $S$ 에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 $S$ 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 $S$ 이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 $S$ 에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 $S$ 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 $S$ 이다.

정의

원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 부분 집합 $S \subseteq X$ 의 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

↑ S = {x \in X : \exists s \in S : s ≲ x}

이는 $S$ 를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 부분 집합 $S \subseteq X$ 의 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.

↓ S = {x \in X : \exists s \in S : x ≲ s}

이는 $S$ 를 포함하는 최소 하집합이다.

원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 부분 집합 $S \subseteq X$ 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.

임의의 $x \in S$ 및 $y \in X$ 에 대하여, $x ≲ y$ 라면 $y \in S$ 이다.
$↑ S \subseteq S$
$↑ S = S$
$s \in S$ 및 사슬 $C \subseteq X$ 에 대하여, 만약 ${s} = \min C$ 라면, $C \subseteq S$ 이다.
$X ∖ S$ 는 하집합이다.

원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 부분 집합 $S \subseteq X$ 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.

임의의 $x \in S$ 및 $y \in X$ 에 대하여, $y ≲ x$ 라면 $y \in S$ 이다.
$↓ S \subseteq S$
$↓ S = S$
$s \in S$ 및 사슬 $C \subseteq X$ 에 대하여, 만약 ${s} = \max C$ 라면, $C \subseteq S$ 이다.
$X ∖ S$ 는 상집합이다.

성질

원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 $(U_{i})_{i \in I}$ 의 교집합

⋂_{i \in I} U_{i}

및 합집합

⋃_{i \in I} U_{i}

역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.

따라서, 원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, $(X, \leq)$ 의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.

반사슬과의 관계

부분 순서 집합 $(X, \leq)$ 의 상집합 $U \subseteq X$ 의 극소 원소들의 집합 $\min U$ 는 $X$ 의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, $(X, \leq)$ 의 하집합 $L \subseteq X$ 의 극대 원소들의 집합 $\max L$ 은 $X$ 의 반사슬을 이룬다.

반대로, 부분 순서 집합 $(X, \leq)$ 의 반사슬 $A \subseteq X$ 가 주어졌을 때, $↑ A$ 는 상집합이며

\min ↑ A = A

\max ↓ A = A

이다. 따라서, $X$ 의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수

↑ : Antichain (X, \leq) \to Upper (X, \leq)

는 단사 함수이며,

\max : Upper (X, \leq) \to Antichain (X, \leq)

는 그 왼쪽 역사상이자 전사 함수이다.

만약 $(X, \leq)$ 가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 $ℝ^{+} \subseteq ℝ$ 는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.

예

자명한 상집합·하집합

임의의 원순서 집합 $(X, ≲)$ 에 대하여, $X$ 는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 $\emptyset \subseteq X$ 역시 $X$ 의 상집합이자 하집합이다.

주 필터와 주 아이디얼

임의의 원순서 집합 $(X, ≲)$ 의 원소 $x \in X$ 에 대하여,

↑ {x} = {y \in X : x ≲ y}

↓ {x} = {y \in X : y ≲ x}

는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.

실직선

실수의 전순서 집합 $(ℝ, \leq)$ 의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

$(a, \infty)$ ( $a \in ℝ$ )
$[a, \infty)$ ( $a \in ℝ$ )
$ℝ$
$\emptyset$

마찬가지로, 실수의 전순서 집합 $(ℝ, \leq)$ 의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.

$(- \infty, a)$ ( $a \in ℝ$ )
$(- \infty, a]$ ( $a \in ℝ$ )
$ℝ$
$\emptyset$

정렬 집합

순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.

α = {β \in Ord : β < α}

이 경우, 두 순서수 $α, β$ 에 대하여, 만약 $α \leq β$ 라면 $α$ 는 $β$ 의 하집합이다.

순서수 $α$ 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.

{β \in Ord : β_{0} \leq β < α}

(

β_{0} \leq α + 1

)

순서수 $α$ 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.

{β \in Ord : β < β_{0}}

(

β_{0} \leq α + 1

)

외부 링크

“Upper set” (영어). 《nLab》.
“Lower set” (영어). 《nLab》.
“Up set” (영어). 《nLab》.
“Down set” (영어). 《nLab》.
“Definition: upper set” (영어). 《ProofWiki》. 2021년 1월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
“Definition: upper closure” (영어). 《ProofWiki》. 2021년 1월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
“Definition: lower set” (영어). 《ProofWiki》. 2017년 12월 27일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
“Definition: lower closure” (영어). 《ProofWiki》.
“Definition: strict upper closure” (영어). 《ProofWiki》.
“Definition: strict lower closure” (영어). 《ProofWiki》.
“Equivalence of definitions of upper set” (영어). 《ProofWiki》. 2020년 9월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.
“Equivalence of definitions of lower set” (영어). 《ProofWiki》. 2017년 7월 9일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 15일에 확인함.

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