항등 함수

실수 항등 함수의 그래프

수학에서 항등 함수(恒等函數, 영어: identity function) 또는 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity map), 항등 변환(恒等變換, 영어: identity transformation)은 정의역과 공역이 같고, 모든 원소를 자기 자신으로 대응시키는 함수이다.

정의

집합 $X$의 항등 함수 ${\mathrm{id}}_X$는 다음과 같은 함수이다.

• ${\mathrm{id}}_X:X\to X$
• 임의의 $x\in X$에 대하여, ${\mathrm{id}}_X(x)=x$

성질

임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

$f\circ {\mathrm{id}}_X={\mathrm{id}}_Y\circ f=f$

즉, 항등 함수는 집합의 범주에서의 항등 사상이다. 특히, $X$의 자기 함수의 집합 $\mathrm{End}(X)$는 함수의 합성에 대하여 모노이드를 이룬다.

증명:

임의의 $x\in X$에 대하여,

$(f\circ {\mathrm{id}}_X)(x)=f({\mathrm{id}}_X(x))=f(x)$

이므로,

$f\circ {\mathrm{id}}_X=f$

이다. 마찬가지로 임의의 $y\in Y$에 대하여,

$({\mathrm{id}}_Y\circ f)(y)={\mathrm{id}}_Y(f(y))=f(y)$

이므로,

${\mathrm{id}}_Y\circ f=f$

이다.

임의의 함수 $f:X\to Y$에 대하여, 다음과 두 조건이 서로 동치이다.

• $f$는 전단사 함수이다.
• 다음을 만족시키는 함수 $f^{-1}:Y\to X$가 존재한다. (이를 $f$의 역함수라고 한다.)
  • $f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$
  • $f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y$

즉, 전단사 함수는 집합의 범주에서 동형 사상이다. 특히, $X$의 자기 전단사 함수의 집합 $\mathrm{Sym}(X)$은 함수의 합성에 대하여 군을 이루며, 이를 $X$의 대칭군이라고 한다.

예

양의 정수의 집합 ${\mathbb{Z}}^{+}$의 항등 함수는 완전 곱셈적 함수에 속한다.

실수의 집합 $ℝ$의 항등 함수는 일차 함수에 속한다.

관련 개념

(범주 속의) 항등 사상

범주의 각 대상의 항등 사상(恒等寫像, 영어: identity morphism)은 항등 함수의 개념의 일반화이다. 이는 일종의 무정의 용어이다.

항등 함자

범주 $𝒞$의 항등 함자(恒等函子, 영어: identity functor) ${\mathrm{id}}_{𝒞}$는 다음과 같은 함자이다.

• ${\mathrm{id}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞$
• 모든 대상 $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, ${\mathrm{id}}_{𝒞}(X)=X$
• 모든 대상 $X,Y\in \mathrm{Ob}(𝒞)$ 및 사상 $f:X\to Y$에 대하여, ${\mathrm{id}}_{𝒞}(f)=f$

만약 $𝒞$가 작은 범주일 경우, 항등 함자 ${\mathrm{id}}_{𝒞}$는 작은 범주의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 (${\mathrm{id}}_{𝒞}$는 함자):

모든 대상 $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여

${\mathrm{id}}_{𝒞}({\mathrm{id}}_X)={\mathrm{id}}_X={\mathrm{id}}_{{\mathrm{id}}_{𝒞}(X)}$

이며, 모든 대상 $X,Y,Z\in \mathrm{Ob}(𝒞)$ 및 사상 $f:X\to Y$ 및 $g:Y\to Z$에 대하여

${\mathrm{id}}_{𝒞}(g\circ f)=g\circ f={\mathrm{id}}_{𝒞}(g)\circ {\mathrm{id}}_{𝒞}(f)$

이므로, ${\mathrm{id}}_{𝒞}$는 (공변) 함자이다.

항등 자연 변환

함자 $F:𝒞\to 𝒟$의 항등 자연 변환(恒等自然變換, 영어: natural transformation) ${\mathrm{id}}_F$는 다음과 같은 자연 변환이다.

• ${\mathrm{id}}_F:F\Rightarrow F$
• 모든 대상 $X\in \mathrm{Ob}(𝒞)$에 대하여, $({\mathrm{id}}_F{)}_X={\mathrm{id}}_{F(X)}$

만약 $𝒞$와 $𝒟$가 작은 범주일 경우, 항등 자연 변환 ${\mathrm{id}}_F$는 $𝒞$와 $𝒟$ 사이의 함자 사이의 자연 변환의 범주에서의 항등 사상이다.

증명 (${\mathrm{id}}_F$는 자연 변환):

모든 대상 $X,Y\in \mathrm{Ob}(𝒞)$ 및 사상 $f:X\to Y$에 대하여,

$({\mathrm{id}}_F{)}_Y\circ F(f)={\mathrm{id}}_{F(Y)}\circ F(f)=F(f)=F(f)\circ {\mathrm{id}}_{F(X)}=F(f)\circ ({\mathrm{id}}_F{)}_X$

이므로, ${\mathrm{id}}_F$는 자연 변환이다.

같이 보기

• 포함 함수

외부 링크

• “Identity map” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Identity map” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Identity function” (영어). 《nLab》. 
• “Identity morphism” (영어). 《nLab》. 
• “Identity functor” (영어). 《nLab》. 
• “Identity natural transformation” (영어). 《nLab》.