형식적 멱급수

대수학에서 형식적 멱급수(形式的冪級數, 영어: formal power series)는 수렴할 필요가 없는 멱급수이다.

정의

환 $R$ 에 대한 형식적 멱급수환 $R [[x]]$ 는 집합으로서 $R^{ℕ}$ 이다. 형식적 멱급수환에서, 원소

(r_{0}, r_{1}, r_{2}, \dots)

는 통상적으로

\sum_{n = 0}^{\infty} r_{n} x^{n} = r_{0} + r_{1} x + r_{2} x^{2} + \dots

으로 쓴다.

$R^{ℕ}$ 위에는 자연스러운 아벨 군 및 좌·우 $R$ -가군 구조가 존재한다. 또한, 다음과 같은 곱셈을 정의하여, 환으로 만들 수 있다.

(\sum_{n = 0}^{\infty} r_{n} x^{n}) (\sum_{n = 0}^{\infty} s_{n} x^{n}) = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} r_{k} s_{n - k} x^{n}

이에 따라 $R [[x]]$ 는 결합 $R$ -대수를 이룬다.

형식적 멱급수환의 원소를 형식적 멱급수라고 한다. $R [[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]]$ 은 $R [[x_{1}]] [[x_{2}]] \dots [[x_{n}]]$ 을 뜻한다.

형식적 멱급수환 위에는 다음과 같은 $R$ -선형 연산

D : R [[x]] \to R [[x]]

D : \sum_{n = 0}^{\infty} r_{n} x^{n} \mapsto \sum_{n = 0}^{\infty} n r_{n} x^{n - 1}

이 존재하며, 이를 미분이라고 한다.

임의의 $a, b \in R [[x]]$ 가 주어졌고, $b_{0} = 0$ 이라고 하자 (즉, $b \in (x)$ ). 그렇다면 $a$ 와 $b$ 의 합성 $a \circ b \in R [[x]]$ 은 다음과 같다.

a \circ b = \sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} \sum_{j \in (ℤ^{+})^{k}}^{j_{1} + \dots + j_{k} = n} a_{k} b_{j_{1}} b_{j_{2}} \dots b_{j_{k}} x^{n}

만약 $R$ 가 가환환이라면, 합성의 결합 법칙이 성립한다. 하지만 가환환이 아닌 환에서는 일반적으로 성립하지 않는다.

환 $R$ 에 대하여,

형식적 멱급수환의 원소

a = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \in R [[x]]

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

구체적으로, $a$ 의 역은 다음과 같이 재귀적으로 정의된다.

(a^{- 1})_{0} = a_{0}^{- 1}

(a^{- 1})_{n} = - a_{0}^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (a^{- 1})_{n - i} = - \sum_{i = 1}^{n} (a^{- 1})_{n - i} a_{i} a_{0}^{- 1} (n \geq 1)

형식적 멱급수환 $R [[x]]$ 위에 다음과 같은 거리 함수를 정의할 수 있다.

d (a, b) = 2^{- \min {n \in ℕ : a_{n} \neq b_{n}}} (a \neq b)

형식적 멱급수환은 이 거리 함수에 대하여 완비 거리 공간을 이루며, 또한 위상환을 이룬다.^[1]^{:132, §III.7, Exercise 5} 이는 다항식환 $R [x]$ 의 완비화이다.^[1]^{:132, §III.7, Exercise 6}

이 거리 공간 구조 아래, 임의의 형식적 멱급수

a = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} x^{n} \in R [[x]]

는 부분합의 점렬

(a_{0}, a_{0} + a_{1} x, a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}, \dots)

의 극한이다.

체 $K$ 에 대하여, 형식적 로랑 급수체 $K ((x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}))$ 은 형식적 멱급수환의 분수체이다.

K ((x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})) = Frac (K [[x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]]) = Frac (K [[x_{1}]] [[x_{2}]] \dots [[x_{n}]])

정의에 따라, 이는 체를 이룬다. 구체적으로, $p \in K ((x))$ 는

p = \sum_{i = m}^{\infty} p_{i} x^{i}

의 꼴로 전개할 수 있다 ( $m \in ℤ$ ). 즉, 유한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있다. 이는 (무한 개의 음의 차수의 항을 가질 수 있는) 복소해석학의 로랑 급수와 다르다.

다항식환, 유리 함수체, 형식적 멱급수환에서는

K [x] [y] ≅ K [x, y]

K (x) (y) ≅ K (x, y)

K [[x]] [[y]] ≅ K [[x, y]]

가 성립하지만, $K ((x, y))$ 와 $K ((x)) ((y))$ 는 서로 다른 체이다. 일반적으로, $K ((x, y))$ 는 $K (x) ((y))$ 의 부분환이며, 단사 준동형

K ((x, y)) \overset{ι_{x}}{↪} K (x) ((y)) ↪ K ((x)) ((y))

K ((x, y)) \overset{ι_{y}}{↪} K (y) ((x)) ↪ K ((y)) ((x))

이 존재한다. 예를 들어,

ι_{x} : \frac{1}{x - y} \mapsto x^{- 1} + x^{- 2} y + x^{- 3} y^{2} + \dots \in K (x) ((y))

ι_{y} : \frac{1}{x - y} \mapsto - y^{- 1} - y^{- 2} x - y^{- 3} x^{2} - \dots \in K (y) ((x))

이다. 그러나 $ι_{x}$ 및 $ι_{y}$ 는 동형 사상이 아니다. 예를 들어,

\sum_{n = 0}^{\infty} x^{- n^{2}} y^{n} \in K (x) ((y)) ∖ ι_{x} (K ((x, y)))

이다.^[2]

↑ ^가 ^나 Grillet, Pierre Antoine (2007). 《Abstract Algebra》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 242. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-71568-1. ISBN 978-0-387-71567-4. ISSN 0072-5285. LCCN 2007928732.
↑ “Explicit elements of K((x))((y))∖K((x,y))” (영어). Math Overflow. 2015년 2월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 2월 6일에 확인함.

Weisstein, Eric Wolfgang. “Formal power series” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.