호프 올뭉치

파일:Hopf Fibration.png

호프 올뭉치의 형상화. 왼쪽 위에는 3차원 구 ${𝕊}^3$(를 3차원 공간 ${ℝ}^3$에 사영한 모습), 오른쪽 아래에는 2차원 구 ${𝕊}^2$이다. 다발 구조를 보이기 위하여 2차원 구의 부분집합과 그 각 점에 대응하는 올을 같은 색깔로 표시하였다.

위상수학에서 호프 올뭉치(영어: Hopf fibration)는 구가 다른 차원의 구 위의 올다발을 이루는 현상이다. 가장 대표적인 경우는 3차원 구가 2차원 구 위에 다발을 이루는 경우며, 유사하게 7차원 구가 4차원 구 위에, 15차원 구가 8차원 구 위에 올다발을 이룬다.

정의

노름을 가진 나눗셈 대수 $X$와 그 차원 $n:=\dim X$가 주어졌다고 하자. 다시 말해, $X$는 실수 · 복소수 · 사원수 · 팔원수 대수 가운데 하나이고 각각의 경우 $n=1,2,4,8$이다. 그러면 다음과 같이 $X$의 원소 두 개의 순서쌍으로 초구 ${𝕊}^{2n-1}$를 만들고 동치관계 $\sim$을 정의할 수 있다.

${𝕊}^{2n-1}=\{(x_1,x_2)|1=|x_1{|}^2+|x_2{|}^2;x_1,x_2\in X\}\subset X^2$

$(x_1,x_2)\sim (\lambda x_1,\lambda x_2)$ ($\lambda \in X$, $|\lambda |=1$)

이 때,

${𝕊}^n\cong {𝕊}^{2n-1}/\sim$

을 얻는다. 즉, ${𝕊}^{2n-1}$은 ${𝕊}^n$ 위에 올다발을 이루며, 그 올은 ${𝕊}^{n-1}$인 것을 알 수 있다. 이를 호프 올뭉치라고 한다. 이에 따라, 다음과 같은 호프 올뭉치들을 얻는다.

${𝕊}^0\hookrightarrow {𝕊}^1\twoheadrightarrow {𝕊}^1$ (실수)

${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^2$ (복소수)

${𝕊}^3\hookrightarrow {𝕊}^7\twoheadrightarrow {𝕊}^4$ (사원수)

${𝕊}^7\hookrightarrow {𝕊}^{15}\twoheadrightarrow {𝕊}^8$ (팔원수)

일반화

보다 일반적으로, 결합 나눗셈 대수 $𝕂$ ($\dim K=k$)에 대하여, $𝕂$-사영 공간에 대한 주다발

${𝕊}^{k-1}\hookrightarrow {𝕊}^{k(n+1)-1}\twoheadrightarrow {𝕂\mathbb{P}}^n$

을 정의할 수 있다. 이는 각각 다음과 같다.

• 실수: ${𝕊}^0\hookrightarrow {𝕊}^n\twoheadrightarrow {ℝ\mathbb{P}}^n$. 이는 2차 순환군 ${𝕊}^0=\mathrm{Cyc}(2)$에 대한 주다발이다.
• 복소수: ${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^{2n+1}\twoheadrightarrow {ℂ\mathbb{P}}^n$. 이는 원군 ${𝕊}^1=\mathrm{U}(1)$에 대한 주다발이다.
• 사원수: ${𝕊}^3\hookrightarrow {𝕊}^{2n+3}\twoheadrightarrow {ℍ\mathbb{P}}^n$. 이는 ${𝕊}^3=$SU(2)에 대한 주다발이다.

마찬가지로, 두 나눗셈 대수의 포함 관계 $𝕂⊊𝕃$에 대하여, $\dim 𝕃/\dim 𝕂=p$, $\dim 𝕃=l$일 때, 올다발

${𝕂\mathbb{P}}^{p-1}\hookrightarrow {𝕂\mathbb{P}}^{p(n+1)-1}\twoheadrightarrow {𝕃\mathbb{P}}^n$

을 정의할 수 있다.

• 실수 ⊂ 복소수: ${𝕊}^1={ℝ\mathbb{P}}^1\hookrightarrow {ℝ\mathbb{P}}^{2n+1}\twoheadrightarrow {ℂ\mathbb{P}}^n$. 이는 원군에 대한 주다발이다.
• 복소수 ⊂ 사원수: ${𝕊}^2={ℂ\mathbb{P}}^1\hookrightarrow {ℂ\mathbb{P}}^{2n+1}\twoheadrightarrow {ℍ\mathbb{P}}^n$. ${𝕊}^2$에는 리 군 구조가 존재하지 않으므로, 이는 주다발이 아닌 올다발이다.
  • 특히, ${𝕊}^2\hookrightarrow {ℂ\mathbb{P}}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^4={ℍ\mathbb{P}}^1$는 콤팩트화 4차원 시공간과 트위스터 공간 사이의 관계이다.
• 실수 ⊂ 사원수: ${ℝ\mathbb{P}}^3\hookrightarrow {ℝ\mathbb{P}}^{4n+3}\twoheadrightarrow {ℍ\mathbb{P}}^n$. 이는 ${\mathrm{RP}}^3=\mathrm{SO}(3)$에 대한 주다발이다.

반면, 이는 팔원수의 부분 나눗셈 대수에 대해서는 정의할 수 없다.

역사

1931년 하인츠 호프가 ${𝕊}^1\hookrightarrow {𝕊}^3\twoheadrightarrow {𝕊}^2$을 발견하였다. 그는 1935년에 다른 차원일 때의 경우를 발표했다.

응용

물리학, 특히 양자역학에 등장한다. 자기 홀극의 전자기 퍼텐셜은 호프 올뭉치를 이룬다.

각주

• Lyons, David W. (2003년 4월). “An elementary introduction to the Hopf fibration” (PDF) (영어). 《Mathematics Magazine》 76 (2): 87–98. doi:10.2307/3219300. ISSN 0025-570X. JSTOR 3219300. 
• Treisman, Zachary (2009년 8월). “A young person’s guide to the Hopf fibration” (영어). arXiv:0908.1205. Bibcode:2009arXiv0908.1205T. 
• Steenrod, Norman (1951). 《The Topology of Fibre Bundles》 (영어). Princeton Mathematical Series 14. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00548-5. MR 0039258. Zbl 0942.55002. 
• Cederwall, Martin (1993년 10월). “Introduction to division algebras, sphere algebras and twistors” (영어). arXiv:hep-th/9310115. Bibcode:1993hep.th...10115C.