보편 이차 형식

이차 형식 이론에서, 보편 이차 형식(普遍二次形式, 영어: universal quadratic form)은 모든 스칼라 값을 치역으로 갖는 이차 형식이다.

정의

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 위의 이차 형식 $Q:M\to R$가 주어졌다고 하자. 임의의 $r\in R$에 대하여, 만약 $Q(m)=r$인 $m\in M$이 존재한다면, $m$을 $r$의 $Q$에 의한 표현(영어: representation of $r$ by $Q$)이라고 한다.

가환환 $R$ 위의 가군 $M$ 위의 이차 형식 $Q$가 $R$의 모든 원소를 표현한다면, $Q$를 보편 이차 형식이라고 한다.

순서체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 양의 정부호 이차 형식 $Q$가 $K$의 모든 양의 원소를 표현한다면, $Q$를 보편 양의 정부호 이차 형식이라고 한다.

전실 수체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 전 양의 정부호 이차 형식 $Q$가 $K$의 모든 전양 원소를 표현한다면, $Q$를 보편 전 양의 정부호 이차 형식이라고 한다.

전실 수체 $K$의 대수적 정수환 ${𝒪}_K$ 위의 가군 $M$ 위의 전 양의 정부호 이차 형식 $Q$가 ${𝒪}_K$의 모든 전양 원소를 표현한다면, $Q$를 보편 전 양의 정부호 이차 형식이라고 한다. 특히, ${𝒪}_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Z}$ 계수 보편 전 양의 정부호 이차 형식은 단순히 보편 양의 정부호 이차 형식이라고 한다.

분류

복소수체

$K$가 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 수가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, 복소수체나 보다 일반적으로 모든 대수적으로 닫힌 체는 이차 폐체이다. 또한, 크기 2의 유한체 ${𝔽}_2$ 역시 이차 폐체이다.) 이 경우, $K$ 위의 임의의 벡터 공간 위의 이차 형식은 상수 함수 0이거나 아니면 보편 이차 형식이다.

실수체

$(K,\le )$가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, $K$가 실수체 $ℝ$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

$K$ 위의 보편 이차 형식은 부정부호 이차 형식이다. 즉, 부호수 $(n_{+},n_0,n_{-})$에서 $n_{+},n_{-}\ge 1$인 경우이다. 만약 $n_{+}\ge 1$이지만 $n_{-}=0$인 경우 (양의 정부호) 이차 형식은 오직 음이 아닌 수만을 표현하며, 반대로 만약 $n_{-}\ge 1$이지만 $n_{+}=0$인 경우 (음의 정부호) 이차 형식은 오직 양이 아닌 수만을 표현한다. 만약 $n_{+}=n_{-}=0$인 경우, 이차 형식은 오직 0만을 표현한다.

실수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식이 보편 이차 형식일 필요충분조건은 부정부호 이차 형식인 것이다. 즉, 대각화하였을 때 하나 이상의 양의 고윳값과 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는 것이다. 예를 들어, $x^2-y^2$는 보편 이차 형식이지만 $x^2$는 아니다.

유한체

홀수 표수의 유한체에 대하여, 2차원 이상의 모든 비특이 이차 형식은 보편 이차 형식이다.^:36

p진수체

p진수체 위의 4차원 이상의 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식은 항상 보편 이차 형식이다.^:37

유리수체

하세-민코프스키 정리에 따르면, 유리수체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 보편 이차 형식이다.
• 모든 자리 $𝔭\in \{\mathrm{\infty },2,3,5,7,\dots \}$에 대하여, $Q{\otimes }_{\mathbb{Q}}{\mathbb{Q}}_{𝔭}$는 보편 이차 형식이다. (여기서 ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{\infty }}=ℝ$는 실수체이며, 소수 $p$에 대하여 ${\mathbb{Q}}_p$는 p진수체이다.)

정수환

15 정리(十五定理, 영어: fifteen theorem)에 따르면, 유한 생성 자유 아벨 군 ${\mathbb{Z}}^n$ 위의 양의 정부호 형식 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Q$는 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15를 표현한다. (OEIS의 수열 A030050)
• $Q$는 보편 양의 정부호 형식이다.

또한, 각 정수 $n\in S=\{1,2,3,5,6,7,10,14,15\}$에 대하여, $S\setminus \{n\}$을 표현하지만 $n$을 표현하지 않는 양의 정부호 형식이 알려져 있다.

라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 정수 계수 이차 형식 $x^2+y^2+z^2+w^2$는 보편 양의 정부호 형식이다.

페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 소수 $p$가 이차 형식 $x^2+y^2$에 의하여 표현될 필요충분조건은 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$인 것이다.

참고 문헌

• Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》 (영어). London Mathematical Society Lecture Note Series 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Duke, William (1997년 2월). “Some old problems and new results about quadratic forms” (PDF) (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 44 (2): 190–196. Zbl 0969.11002. 

외부 링크

• “Universal quadratic form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Quadratic form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Binary quadratic form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• 이철희. “정수의 이차형식 표현”. 《수학노트》. 
• 오병권 (2008). “이차형식의 표현에 관하여”. 《대한수학회소식》 120: 6–11.