4항 보조정리

호몰로지 대수학에서 4항 보조정리(四項補助定理, 영어: four lemma)는 두 완전열 사이의 사상 가운데 일부가 전사 사상 또는 단사 사상이라면 가운데의 사상 역시 전사 사상 또는 단사 사상이라는 보조정리이다.

정의

아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

$\begin{array}{cccccc}& \to & & \to & & \to \\ a\downarrow & & b\downarrow & & c\downarrow & & d\downarrow \\ & \to & & \to & & \to \end{array}$

이 가환 그림에서, 다음이 성립한다고 하자.

• 두 행 모두 완전열이다.
• $a$는 전사 사상이다.
• $d$는 단사 사상이다.

4항 보조정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{:13, Exercise 1.3.3}

• 만약 $c$가 전사 사상이라면 $b$ 역시 전사 사상이다.
• 만약 $b$가 단사 사상이라면 $c$ 역시 단사 사상이다.

이 두 명제는 서로 쌍대이다. 즉, 둘째는 첫째를 반대 범주에서 적용한 것에 불과하다.

이는 다음과 같이 도롱뇽 정리를 써 간단히 증명된다.

증명:

우선, 핵과 여핵을 추가하여, 다음과 같은 이중 사슬 복합체를 생각하자.

$\begin{array}{ccccc}& & 0& & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & \ker b& \to & \ker c& \to & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ A& \to & B& \to & C& \to & D\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ A^{\prime }& \to & B^{\prime }& \to & C^{\prime }& \to & D^{\prime }\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0& \to & \mathrm{coker}b& \to & \mathrm{coker}c\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 0& & 0\end{array}$

이제, “$b$ 단사 ⇒ $c$ 단사”를 증명하려면, ${}_{=}(\ker c)\cong 0$임을 보이면 족하다.

이는 다음과 같은 교외 사상 및 교내 사상으로 구성된 동형 사상으로 주어진다.

$\begin{array}{ccccc}& & 0& & 0\\ & & & & \\ & & \bullet & & \bullet =\to ◻& & 0\\ & & & & \swarrow \\ \bullet & & {\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}\bullet & & \bullet \\ & & \swarrow & & & & \\ {\bullet }_{◻}& \nearrow & {}^{◻}\bullet & & \bullet & & \bullet \\ \swarrow & & & & \\ {}^{◻}0& & \bullet & & \bullet \\ & & & & \\ & & 0& & 0\end{array}$

5항 보조정리

4항 보조정리를 양쪽에 적용하여, 다음과 같은 5항 보조정리(五項補助定理, 영어: five lemma)를 적을 수 있다. 아벨 범주 속에서 다음과 같은 가환 그림이 주어졌다고 하자.

$\begin{array}{cccccccc}& \to & & \to & & \to & & \to \\ a\downarrow & & b\downarrow & & c\downarrow & & d\downarrow & & e\downarrow \\ & \to & & \to & & \to & & \to \end{array}$

이 가환 그림에서 다음이 성립한다고 하자.

• 두 행 모두 완전열이다.
• $a$는 전사 사상이다.
• $e$는 단사 사상이다.
• $b$와 $d$는 동형 사상이다.

5항 보조정리에 따르면, $c$ 역시 동형 사상이다. 이는 4항 보조정리를 왼쪽 열을 제거한 부분 도형과 오른쪽 열을 제거한 부분 도형에 각각 적용한 것에 불과하다.

5항 보조정리의 특수한 경우로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.

$\begin{array}{ccccccc}0\to & & \to & & \to & & \to 0\\ & b\downarrow & & c\downarrow & & d\downarrow \\ 0\to & & \to & & \to & & \to 0\end{array}$

짧은 5항 보조정리(-五項補助定理, 영어: short five lemma)에 따르면, 만약 각 행이 짧은 완전열이며 $b$, $d$가 동형 사상이라면 $c$ 역시 동형 사상이다. 짧은 5항 보조정리는 또한 (아벨 범주가 아닌) 군의 범주에서도 성립한다.

역사

4·5항 보조정리는 보조정리에 등장하는 가환 그림이 각각 4×2 또는 5×2개의 대상을 포함하기 때문에 이렇게 명명되었다.

데이비드 앨빈 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 5항 보조정리는 보조정리 5.9로 등장한다.

같이 보기

• 뱀 완전열
• 이중 사슬 복합체

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Four lemma” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Five lemma” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Four lemma” (영어). 《nLab》. 
• “Five lemma” (영어). 《nLab》. 
• “Five lemma” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Some intuition behind the five lemma?” (영어). Math Overflow. 
• Geraschenko, Anton (2007년 11월 13일). “The salamander lemma” (영어). 《Secret Blogging Seminar》. 
• Armstrong, John (2007년 10월 1일). “The five lemma” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》. 
• Armstrong, John (2007년 9월 27일). “Short exact sequences” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》.