ADM 형식

아노윗-데세르-미스너 수식 체계(Arnowitt-Deser-Misner數式體系, 영어: Arnowitt–Deser–Misner formalism, 약자 ADM 수식 체계)는 일반 상대성 이론을 해밀턴 역학으로 표현하는 방법이다. 시공간에 공간적 엽층을 준 뒤, 엽층의 각 잎의 (시공의 부분 다양체로서) 유도된 계량 텐서에 대하여 일반화 운동량을 정의한다. 잎의 계량 텐서 및 그 운동량에 포함되지 않는 (질량 껍질 밖) 자유도는 라그랑주 승수 꼴로 나타나, 이론에 제약을 준다.

전개

그리스 문자 첨자 $\mu ,\nu ,\dots =0,1,\dots ,D$는 $D+1$차원 시공간을, 로마자 첨자 $i,j,\dots =1,\dots ,D$는 $D$차원 공간만을 나타낸다. 여기서는 −+++ 계량 부호수를 쓴다. 편의상 $c=1$로 놓자.

계량 텐서의 분해

$D+1$차원에서, 일반 상대성 이론의 동적 변수는 대칭 텐서인 계량 텐서 $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$의 $(D+1)(D+2)/2$개의 성분들이다. 그러나 일반 상대성 이론은 임의의 미분 동형 사상을 게이지 대칭으로 가지며, 이는 (국소적으로) $x^{\mu }\mapsto x^{\mu }+\delta x^{\mu }$와 같은 꼴이므로, $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$의 성분 가운데 $D+1$개는 게이지 변환을 통해 흡수될 수 있으며, 따라서 실제 동적인 장들은 그 가운데

$\frac{1}{2}(D+1)(D+2)-(D+1)=\frac{1}{2}D(D+1)$

개이다. 즉, 계량 텐서를 다음과 같은 꼴로 표시할 수 있다.^{:(3.9a), (3.10), (3.11a), (3.11b)}

$g_{\mu \nu }^{(D+1)}=\left(\begin{array}{cc}{g}^{ij}{N}_i{N}_j-N^2& N_i\\ N_i& g_{ij}\end{array}\right)$

$g_{(D+1)}^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cc}-1/N^2& g^{ij}{N}_j{N}^2\\ g^{ij}{N}_j/N^2& g^{ij}-g^{im}{g}^{jn}{N}_m{N}_n/N^2\end{array}\right)$

여기서 보조장 $N$과 $(N_i{)}_{i=1,\dots ,D}$는 각각 경과장(經過場, 영어: lapse 랩스^[*]) 및 이동장(移動場, 영어: shift 시프트^[*])이라고 불린다. $(g^{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,D})$는 $(g_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,D}$의 역행렬이다(특히, $(g_{\mu \nu }^{(D+1)}{)}_{\mu ,\nu =0,\dots ,D})$의 역행렬의 성분이 아니다). $g_{(D+1)}^{0,0}$는 $(g_{\mu \nu }^{(D+1)}{)}_{\mu ,\nu =0,\dots ,D}$의 역행렬의 한 성분이다.

이 경우, $D+1$차원 계량 텐서의 행렬식은 다음과 같다.^:(3.12)

$-\det (g_{\mu \nu })=N^2\det (g_{ij})$

즉, 경과장 $N$은 $D+1$차원 계량으로 측정한 $D+1$차원 초부피 원소(야코비 행렬식)와 $D$차원 계량으로 측정한 $D$차원 부피 원소(야코비 행렬식)의 비이다.

이러한 분해는 전자기 퍼텐셜 $A_{\mu }=(A_0,A_i)$의 분해와 마찬가지다. 전자기학에서 $A_0$가 게이지 변환에 의하여 라그랑주 승수 보조장이 되는 것처럼, $N$과 $N_i$ 역시 마찬가지 역할을 한다.

운동량과 작용

일반 상대성 이론은 아인슈타인-힐베르트 작용으로 나타낼 수 있다.

$16\pi Gℒ=\sqrt{-\det (g_{\mu \nu }^{(D+1)})}{R}^{(D+1)}$

여기서 $g_{\mu \nu }$는 계량 텐서, $R^{(D+1)}$은 $g_{\mu \nu }^{(D+1)}$로 계산한 리치 스칼라다.

이제 편의상 $D+1=3+1$인 경우만을 생각하자. $g_{ij}$에 대한 일반화 운동량 ${\pi }^{ij}$를 계산하면 다음과 같다.

${\pi }^{ij}=\frac{\delta ℒ}{\delta ({\dot{g}}_{ij})}=\frac{1}{16\pi G}\sqrt{-\det g_{\mu \nu }}({\Gamma }_{pq}^0-g_{pq}{\Gamma }_{rs}^0{g}^{rs})g^{ip}{g}^{jq}$

$g_{ij}$에 대하여 해밀토니언을 정의하자. 그렇다면 작용은 다음과 같다.

$16\pi Gℒ=-g_{ij}{\dot{\pi }}^{ij}-NH-N_i{P}^i+{\partial }_i(\cdots {)}^i$

여기서

$H=-\frac{1}{16\pi G}\sqrt{-\det g_{ij}}(R+\frac{1}{\det g_{ij}}(\frac{1}{2}(\det {\pi }^{ij}{)}^2-{\pi }^{ij}{\pi }_{ij}))$

$P^i=-\frac{1}{8\pi G}{\mathrm{\nabla }}_j{\pi }^{ij}$

이다. 즉 $N$과 $N_i$는 라그랑주 승수가 되며, 그 운동 방정식에 따라 $H=P^i=0$이다.

성질

운동 방정식

$g_{ij}$ 및 ${\pi }^{ij}$에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 다음과 같다.

${\dot{g}}_{ij}=2N{g}^{-1/2}({\pi }_{ij}-\frac{1}{2}\pi g_{ij})+2{\mathrm{\nabla }}_{(i;j)}$

${\dot{\pi }}^{ij}=-N\sqrt{\det (g_{ij})}(R^{ij}-\frac{1}{2}R{g}^{ij})+\frac{1}{2}N(\det (g_{ij}){)}^{-1/2}{g}^{ij}({\pi }^{mn}{\pi }_{mn}-\frac{1}{2}{\pi }^2)-2N{g}^{-1/2}({\pi }^{in}{\pi }_n{}^j-\frac{1}{2}\pi {\pi }^{ij})$

$-\sqrt{\det (g_{ij})}({\mathrm{\nabla }}^i{\mathrm{\nabla }}^{j}N-g^{ij}{\mathrm{\nabla }}^{2}N)+{\mathrm{\nabla }}_n({\pi }^{ij}{N}^n)-2{\pi }^{n(i}{\mathrm{\nabla }}_n{N}^{j)}$

보조장들에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

$H=0$

$P^i=0$

이들은 위상 공간의 제약을 나타내며, 전자기장의 가우스 법칙 제약과 유사하다. 보조장 $N$ 및 $N_i$ 자체는 임의로 값을 줄 수 있다. 이는 일반 상대성 이론에서 미분 동형 사상 대칭이 게이지 대칭이기 때문이다.

위상 공간

일반적으로, $d+1$차원 시공간 $\Sigma \times ℝ$에서, ADM 수식 체계에 의한, 일반 상대성 이론의 위상 공간은 $\Sigma$ 위의 매끄러운 올다발의 매끄러운 단면의 공간이다. 이 올다발의 올의 차원은 $(d+1)(d-2)$이다.^:§2 이는 다음과 같이 얻어진다.

설명	성분
계량 텐서 $g_{ij}$ 및 그 일반화 운동량	$d(d+1)$
에너지 제약 $H=0$ 및 그 게이지 조건	−2
운동량 제약 $P^i=0$ 및 그 게이지 조건	$-2d$
계	$d(d+1)-2-2d=d^2-d-2=(d+1)(d-2)$

역사

파일:ArnowittDeserMisner2009 01.jpg

아노윗 (左) · 데세르 (中) · 미스너 (右). 2009년 사진

리처드 루이스 아노윗(영어: Richard Lewis Arnowitt, 1928~2014) · 스탠리 데세르(폴란드어: Stanley Deser, 1931~) · 찰스 미스너(영어: Charles W. Misner, 1932~)가 1959년~1961년에 도입하였다.

같이 보기

• 정준좌표