브라마굽타 공식

기하학에서 브라마굽타 공식(Brahmagupta公式, 영어: Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형의 넓이를 네 변의 길이에 대한 대칭 함수로 나타내는 공식이다.

정의

내접 사각형 $ABCD$의 네 변의 길이를 $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$라고 하자. 브라마굽타 공식에 따르면, 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

여기서

$s=\frac{a+b+c+d}{2}$

는 반둘레이다.

증명

삼각법 증명

내접 사각형의 두 대각은 서로 보각이라는 성질에 의하여,

$B+D=180^{\circ }$

이다. 삼각형 $ABC$와 $ACD$에 코사인 법칙을 적용하면 각각

$A{C}^2=a^2+b^2-2ab\cos B$

와

$\begin{array}{cc}A{C}^2& =c^2+d^2-2cd\cos D\\ & =c^2+d^2+2cd\cos B\end{array}$

를 얻으며, 이를 연립하면

$2(ab+cd)\cos B=a^2+b^2-c^2-d^2$

를 얻는다. 사각형 $ABCD$의 넓이는 삼각형 $ABC$와 $ACD$의 넓이의 합이므로,

$\begin{array}{cc}S& =\frac{1}{2}ab\sin B+\frac{1}{2}cd\sin D\\ & =\frac{1}{2}(ab+cd)\sin B\end{array}$

이다. 따라서

$\begin{array}{cc}16S^2& =4(ab+cd{)}^2{\sin }^{2}B\\ & =4(ab+cd{)}^2-4(ab+cd{)}^2{\cos }^{2}B\\ & =(2ab+2cd{)}^2-(a^2+b^2-c^2-d^2{)}^2\\ & =(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)\\ & =((c+d{)}^2-(a-b{)}^2)((a+b{)}^2-(c-d{)}^2)\\ & =(c+d-a+b)(c+d+a-b)(a+b-c+d)(a+b+c-d)\\ & =2(s-a)\cdot 2(s-b)\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-d)\\ & =16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)\end{array}$

가 성립한다.

특수한 경우

헤론의 공식

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 헤론의 공식입니다.

헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우이다. 브라마굽타 정리에서 두 꼭짓점 C와 D가 같다고 하면, 사각형 ABCD는 삼각형 ABC가 되고, d=0, s=1/2(a+b+c)가 되어, 삼각형 ABC의 넓이는

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

가 된다.

이중중심 사각형의 넓이

외, 내접을 모두하는 사각형 $ABCD$의 네 변의 길이를 $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$라고 하자. 그렇다면 이 사각형의 넓이는 다음과 같다.

$S=\sqrt{abcd}$

이는 이 사각형이 내접 사각형이므로 브라마굽타 공식이 성립하고, 또한 외접 사각형이므로

$a+c=b+d=s$

이기 때문이다.

일반화

브레치나이더 공식

브레치나이더 공식(Bretschneider公式, 영어: Bretschneider's formula)은 브라마굽타 공식을 원에 내접하지 않을 수 있는 임의의 사각형에까지 일반화한다. 이에 따르면, 임의의 사각형 $ABCD$의 네 변의 길이를 $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$라고 하고, 반둘레를 $s$, 넓이를 $S$라고 할 경우 다음이 성립한다.

$S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd{\cos }^2\frac{A+C}{2}}$

내접 사각형에서는 $A+C=180^{\circ }$이므로

$\cos \frac{A+C}{2}=0$

이다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.

역사

인도의 수학자 브라마굽타가 7세기경에 제시하였다.^{:57, §3.2} 그러나 그는 이에 대한 증명을 제시하지는 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다고 명시하지도 않았다.^{:188-189, §9.3}

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Brahmagupta's formula” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Brahmagupta's formula” (영어). 《ProofWiki》.