유한형 사상

대수기하학에서 유한형 사상(有限型寫像, 영어: morphism of finite type, 프랑스어: morphisme de type fini)은 대략 유한 개의 변수에 대한 다항 함수에 대응하는 스킴 사이의 사상이다.

정의

유한형 환 준동형

두 가환환 사이의 환 준동형 $f : R \to S$ 가 주어졌을 때, $S$ 는 $f$ 를 통해 $R$ -가환 결합 대수를 이룬다. 만약 $S$ 가 $R$ -유한 생성 가환 결합 대수라면 (즉, 만약 어떤 충분히 큰 자연수 $n$ 에 대하여 $S$ 가 $R [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]$ 의 $R$ -몫대수와 $R$ -가환 결합 대수로서 동형이라면), $f$ 를 유한형 준동형(有限型準同型, 영어: finite-type homomorphism)이라고 한다.

유한형 사상

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 $f : X \to Y$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 스킴 사상을 국소 유한형 사상(局所有限型寫像, 영어: morphism locally of finite type)이라고 한다

임의의 $x \in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x \in Spec R \subseteq X$ 및 $f (x) \in Spec S \subseteq Y$ 가 존재한다.
환 준동형 $S \to R$ 은 유한형 준동형이다.
다음 조건을 만족시키는 $Y$ 의 아핀 열린 덮개 $(V_{i} ≅ Spec R_{i})_{i \in I}$ 및 각 $i \in I$ 에 대하여 $f^{- 1} (V_{i})$ 의 아핀 열린 덮개 $(U_{j} ≅ Spec S_{j})_{j \in J_{i}}$ 가 존재한다.
각 $i \in I$ 및 $j \in J_{i}$ 에 대하여, 환 준동형 $R_{i} \to S_{j}$ 는 유한형 준동형이다.

준콤팩트 함수인 국소 유한형 사상을 유한형 사상(有限型寫像, 영어: morphism of finite type)이라고 한다.^[1]^:84^[2]^{:87, Definition 3.2.1}

유한 생성 가군이 되는 것은 유한 생성 대수가 되는 것보다 매우 강한 조건이며, 따라서 유한 사상은 유한형 사상보다 매우 더 강한 조건이다.

유한 표시 사상

두 가환환 사이의 환 준동형 $f : R \to S$ 가 주어졌을 때, $S$ 는 $f$ 를 통해 $R$ -가환 결합 대수를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, $f$ 를 유한 표시 준동형(有限表示準同型, 영어: finitely presented homomorphism)이라고 한다.

만약 어떤 충분히 큰 자연수 $n$ 에 대하여, $S$ 가 $R [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}]$ 의 $R$ -몫대수 $R [x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}] / 𝔞$ 와 $R$ -가환 결합 대수로서 동형이며, $𝔞$ 는 유한 생성 아이디얼로 잡을 수 있다.

이 개념은 스킴에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 스킴 사상 $f : X \to Y$ 가 주어졌다고 하자. 임의의 $x \in X$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x \in Spec R \subseteq X$ 및 $f (x) \in Spec S \subseteq Y$ 가 존재한다면, $f$ 를 국소 유한 표시 사상(局所有限表示寫像, 영어: morphism locally of finite presentation)이라고 한다.

환 준동형 $S \to R$ 은 유한 표시 준동형이다.

준콤팩트 함수이자 준분리 사상인 국소 유한 표시 사상을 유한 표시 사상(有限表示寫像, 영어: morphism of finite presentation)이라고 한다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

스킴 사상	⊃	국소 유한형 사상	⊃	유한형 사상	⊃	고유 사상	⊃	유한 사상	⊃	닫힌 몰입
		∪		∪
		국소 유한 표시 사상	⊃	유한 표시 사상
		∪
		에탈 사상
		∪
		열린 몰입

공역이 국소 뇌터 스킴인 스킴 사상의 경우,

국소 유한형 사상 = 국소 유한 표시 사상

유한형 사상 = 유한 표시 사상

이 성립한다.

닫힘

$𝔓$ 가 유한형 사상 · 국소 유한형 사상 · 유한 표시 사상 · 국소 유한 표시 사상 · 유한 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$ 에 대하여, 만약 $f$ 와 $g$ 가 $𝔓$ -사상이라면 $g \circ f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.
(밑 변환에 대하여 안정) $X \overset{f}{\to} Y \leftarrow Y^{'}$ 에 대하여, 만약 $f$ 가 $𝔓$ -사상이라면 밑 변환 $f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ 역시 $𝔓$ -사상이다.
(fpqc 위상에서의 내림) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\leftarrow} Y^{'}$ 에 대하여, 만약 밑 변환 $f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ 가 $𝔓$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

체 $K$ 에 대하여, 아핀 공간 $𝔸_{K}^{n} = Spec K [x_{1}, \dots, x_{n}]$ 은 자연스러운 사상

𝔸_{K}^{n} \to 𝔸_{K}^{0} = Spec K

을 갖는다. 이는 유한형 사상이지만, $n > 0$ 이라면 유한 사상이 아니다.

환 준동형

K [x] \to K [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x)

으로 유도되는 아핀 스킴 사상

Spec K [x, y] / (y^{2} - x^{3} - x) \to 𝔸_{K}^{1}

는 유한 사상이며 따라서 유한형 사상이다.

각주

↑ Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 2판 (영어). 번역 Erne, Reinie. Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.

외부 링크

“Morphism of finite type” (영어). 《nLab》.
“Morphism of finite presentation” (영어). 《nLab》.
Mathew, Akhil (2010년 12월 26일). “The finite presentation trick: Or, how to get the non-noetherian form of Chevalley’s theorem” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》.
“Finite type/finite morphism” (영어). Math Overflow.
“Why does finitely presented imply quasi-separated?” (영어). Math Overflow.

같이 보기

고유 사상

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[Hartshorne-1] Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[Liu-2] Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》 2판 (영어). 번역 Erne, Reinie. Oxford Graduate Texts in Mathematics 6. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 5월 7일에 확인함.

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