−1 문서 원본 보기

{{정수 정보|
    | Class = −0
    | 읽기 = 마이너스 일, 음의 일
    | 세기 = -
    | 한자 = -
    | Factor = 불가
    | Roman = 표시불가<ref>가끔 O로 표기하기도 한다.</ref>
    | Bin = −1
    | Oct = −1
    | Duo = −1
    | Hex = −1
    | Euler = −1
    | Tau = −∞
    | Sigma = −∞
    | USigma = −?
    | Moebius = −1
    | Mertens = −0
}}
'''−1'''은 [[1]]의 덧셈의 [[역원]], 즉 1에 더해 [[덧셈의 항등원]]인 0이 되는 수이다. [[−2]]보다 크고 [[0]]보다 작은 음의 [[정수]]이다.

== 대수적 성질 ==
어떤 수에 −1을 곱하면 [[부호 (수학)|부호]]가 바뀐다. 이는 곧 어떤 수 {{Mvar|x}}에 대해 {{Math|(−1)&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} −''x''}}라는 말과 같다. 이는 1이 곱셈의 [[항등원]]이라는 사실과 [[분배법칙]]을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

: {{Math|''x'' + (−1)&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} 1&thinsp;⋅&thinsp;''x'' + (−1)&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} (1 + (−1))&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} 0&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} 0}}.

0곱하기 {{Mvar|x}}가 0이라는 사실은 다음과 같이 증명한다.

: {{Math|0&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} (0 + 0)&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} 0&thinsp;⋅&thinsp;''x'' + 0&thinsp;⋅&thinsp;''x''}}.

[[파일:ImaginaryUnit5.svg|오른쪽|섬네일|[[복소평면]] 상에서 0, 1, −1, {{mvar|[[허수 단위|i]]}}, −{{Mvar|i}}]]
따라서 정리하면 {{Math|''x'' + (−1)&thinsp;⋅&thinsp;''x'' {{=}} 0}}이므로, {{Math|(−1)&thinsp;⋅&thinsp;''x''}}은 {{Mvar|x}}의 덧셈의 [[역원]]이 된다.

=== −1의 제곱 ===
−1의 [[제곱]]은 1이다. 따라서 어떤 두 음수를 곱하면 항상 양수가 나온다.

이를 대수적으로 증명하기 위해 우선 다음의 항등식을 보자.

: {{Math|0 {{=}} −1&thinsp;⋅ 0 {{=}} −1&thinsp;⋅ [1&thinsp;+ (−1)]}}.

첫 번째 항등식은 윗 문단에서, 두 번째 항등식은  −1이 1의 덧셈의 역원이라는 사실에서 나온다. 이제 분배법칙을 적용하면 식을 다음과 같이 나눌 수 있다.

: {{Math|0 {{=}} −1 ⋅ [1&thinsp;+ (−1)] {{=}} −1&thinsp;⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) {{=}} −1&thinsp;+ (−1) ⋅ (−1)}}.

−1 곱하기 1이 −1이 되는 까닭은 1이 덧셈의 항등원이기 때문에 그렇다. 이제 양변에 1을 더하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.

: {{Math|(−1) ⋅ (−1) {{=}} 1}}.

위의 논의는 정수와 [[실수]]를 일반화한 [[추상대수학]]적 개념인 [[환 (수학)|환]]에서 항상 성립한다.

다시 정리하면 다음과 같다.<math>1+(-1)=0</math>이므로,
:<math>0 = 0 \times 0 = (1 + (-1)) \times (1 + (-1))</math>

여기에서 [[분배 법칙]]을 사용하면,

:<math>0 = (1 \times 1) + ((-1) \times 1) + (1 \times (-1)) + ((-1) \times (-1))</math>

:<math>= -1 + ((-1) \times (-1))</math>이 된다. &minus;1을 왼쪽으로 이항하면

:<math>(-1) \times (-1) = 1</math>이 얻어진다.

=== −1의 제곱근 ===
−1의 제곱근은 [[실수]] 안에선 찾을 수 없고, [[복소수]] 안에서 찾아야한다. 복소수 {{mvar|[[허수 단위|i]]}}의 제곱이 −1이기 때문에 이를 −1의 제곱근 중 하나로 본다.<ref>{{웹 인용|url=https://www.mathsisfun.com/numbers/imaginary-numbers.html|title=Imaginary Numbers|author=<!--Not stated-->|date=|website=Math is Fun|publisher=|access-date=15 February 2021|quote=}}</ref><ref>{{웹 인용|url=https://mathworld.wolfram.com/ImaginaryNumber.html|title=Imaginary Number|last=Weisstein|first=Eric W.|date=|website=MathWorld|publisher=|access-date=15 February 2021|quote=}}</ref> 다른 제곱근 중 하나는 −{{mvar|[[허수 단위|i]]}}이다. [[사원수]]로 논의를 확장하면 −1의 제곱근은 무수히 많다.

== 기타 성질 ==

* <math> -1 \cdot x = -x </math>
* <math> x^{-1} = \frac{1}{x} </math>
* <math> \sqrt {-1} = \pm i = i, -i </math> ([[허수 단위]])
* <math> e^{i\pi} = -1 </math>
* 모든 [[정수]]는 &minus;1을 [[약수]]로 가진다.
* &minus;1은 가장 큰 [[음의 정수]]이다.
* &minus;1의 [[역수]]는 &minus;1이다.
* &minus;1의 [[반수 (수학)|반수]]는 1이다
*ㅡ1×4=ㅡ4

== 같이 보기 ==
* [[균형 3진법]]
* [[메넬라오스 정리]]
== 각주 ==
<references />

{{정수}}
{{위키데이터 속성 추적}}
{{토막글|숫자}}

[[분류:정수|1]]
[[분류:1]]