−1

−1은 1의 덧셈의 역원, 즉 1에 더해 덧셈의 항등원인 0이 되는 수이다. −2보다 크고 0보다 작은 음의 정수이다.

대수적 성질

어떤 수에 −1을 곱하면 부호가 바뀐다. 이는 곧 어떤 수 $x$ 에 대해 (−1) ⋅ x = −x라는 말과 같다. 이는 1이 곱셈의 항등원이라는 사실과 분배법칙을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

x + (−1) ⋅ x = 1 ⋅ x + (−1) ⋅ x = (1 + (−1)) ⋅ x = 0 ⋅ x = 0.

0곱하기 $x$ 가 0이라는 사실은 다음과 같이 증명한다.

0 ⋅ x = (0 + 0) ⋅ x = 0 ⋅ x + 0 ⋅ x.

복소평면 상에서 0, 1, −1,

i

, −

i

따라서 정리하면 x + (−1) ⋅ x = 0이므로, (−1) ⋅ x은 $x$ 의 덧셈의 역원이 된다.

−1의 제곱은 1이다. 따라서 어떤 두 음수를 곱하면 항상 양수가 나온다.

이를 대수적으로 증명하기 위해 우선 다음의 항등식을 보자.

0 = −1 ⋅ 0 = −1 ⋅ [1 + (−1)].

첫 번째 항등식은 윗 문단에서, 두 번째 항등식은 −1이 1의 덧셈의 역원이라는 사실에서 나온다. 이제 분배법칙을 적용하면 식을 다음과 같이 나눌 수 있다.

0 = −1 ⋅ [1 + (−1)] = −1 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1) = −1 + (−1) ⋅ (−1).

−1 곱하기 1이 −1이 되는 까닭은 1이 덧셈의 항등원이기 때문에 그렇다. 이제 양변에 1을 더하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.

(−1) ⋅ (−1) = 1.

위의 논의는 정수와 실수를 일반화한 추상대수학적 개념인 환에서 항상 성립한다.

다시 정리하면 다음과 같다. $1 + (- 1) = 0$ 이므로,

0 = 0 \times 0 = (1 + (- 1)) \times (1 + (- 1))

여기에서 분배 법칙을 사용하면,

0 = (1 \times 1) + ((- 1) \times 1) + (1 \times (- 1)) + ((- 1) \times (- 1))

= - 1 + ((- 1) \times (- 1))

이 된다. −1을 왼쪽으로 이항하면

(- 1) \times (- 1) = 1

이 얻어진다.

−1의 제곱근은 실수 안에선 찾을 수 없고, 복소수 안에서 찾아야한다. 복소수 $i$ 의 제곱이 −1이기 때문에 이를 −1의 제곱근 중 하나로 본다.^[1]^[2] 다른 제곱근 중 하나는 − $i$ 이다. 사원수로 논의를 확장하면 −1의 제곱근은 무수히 많다.

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