가중 사영 공간 문서 원본 보기

[[대수기하학]]에서 '''가중 사영 공간'''(加重射影空間, {{llang|en|weighted projective space}})은 [[사영 공간]]의 개념의 일반화이다.<ref>{{서적 인용|MR=0704986
|last=Dolgachev|first= Igor
|editor1-last=Carrell | editor1-first= J.B.
|chapter=Weighted projective varieties|title= Group actions and vector fields. Proceedings of a Polish-North American Seminar Held at the University of British Columbia, January 15 - February 15, 1981|pages= 34–71
|series=Lecture Notes in Mathematics|volume= 956|publisher= Springer-Verlag|year= 1982|doi=10.1007/BFb0101508 | 장url=http://www.math.lsa.umich.edu/~idolga/weighted82.pdf | isbn= 978-3-540-11946-3 | 언어=en}}</ref><ref name="Hosgood">{{저널 인용
  | first=Timothy
  | last=Hosgood
  | title=An introduction to varieties in weighted projective space
  | arxiv=1604.02441| bibcode=2016arXiv160402441H
  | 날짜=2016
  | 언어=en
  }}
</ref> 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[가환환]] <math>K</math>
* 양의 [[정수]] <math>a_0,a_1,\dotsc,a_n \in \mathbb Z^+</math>
그렇다면, [[등급환]]인 [[가환환]]
:<math>A = K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>
:<math>\deg x_i = a_i</math>
을 정의할 수 있다. 그 [[사영 스펙트럼]]
:<math>\operatorname{Proj}A = \mathbb P_K(a_0,a_1,\dotsc,a_n)</math>
을 무게 <math>(a_0,a_1,\dotsc,a_n)</math>의 '''가중 사영 공간'''이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 <math>K</math>의 [[곱 (범주론)|곱]]이다.
:<math>\mathbb P_K(a_0,a_1,\dotsc,a_n) = \mathbb P_{\mathbb Z}(a_0,a_1,\dotsc,a_n) \times K</math>

즉, 만약 <math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, <math>K^\times</math>는 <math>\operatorname{Spec}K[x_0,\dotsc,x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0,\dotsc,x_n]/(x_0,\dotsc,x_n)</math>에 [[고정점]] 없이 다음과 같이 [[군의 작용|작용]]한다.
:<math>\lambda \cdot x_i = \lambda^{a_i}x_i</math>
따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.
:<math>\mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_n) = \frac{\operatorname{Spec}K[x_0,\dotsc,x_n] \setminus \operatorname{Spec} K[x_0,\dotsc,x_n]/(x_0,\dotsc,x_n)}{\mathbb G_{\mathrm m}^K}</math>
그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.
:<math>\frac{\{(x_0,x_1,\dotsc,x_n)\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dotsc,0)\}}{
(x_0,\dotsc,x_n)
\sim
(\lambda^{a_0}x_0,\dotsc,\lambda^{a_0}x_n)
\qquad\forall \lambda\in K^\times
}</math>

== 분류 ==
<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자.

임의의 양의 정수 <math>b\in\mathbb Z^+</math> 및 <math>i\in\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.
:<math>\mathbb P(a_0,a_1,\dotsc,a_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_{i-1},a_i,da_{i+1},\dotsc,da_n) \cong \mathbb P(da_0,da_1,\dotsc,da_i,\dotsc,da_n)</math>
무게 <math>(a_0,a_1,\dotsc,a_n)</math> 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 '''잘 만들어진 무게'''({{llang|en|well formed weights}})라고 하자.
:임의의 <math>n</math>개의 성분들의 [[최대공약수]]는 1이다. 즉, 임의의 <math>i\in\{0,1,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>\gcd\{a_0,\dotsc,\widehat{a_i},\dotsc,a_n\} = 1</math>. (여기서 <math>\widehat{a_i}</math>는 <math>a_i</math>를 생략하라는 뜻이다.)
따라서, [[대수적으로 닫힌 체]] 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

== 성질 ==
정의에 따라, 가중 사영 공간은 [[원환 다양체]]이다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 가중 사영 공간은 <math>K</math> 위의 [[사영 대수다양체]]를 이룬다.<ref name="Hosgood"/>{{rp|Theorem 4.3.9}}

=== 아핀 덮개 ===
가환환 <math>K</math>에 대하여, 가중 사영 공간 <math>\mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_i)</math>는 다음과 같이 <math>n+1</math>개의 [[아핀 스킴]]으로 구성된 [[열린 덮개]]를 갖는다. 각 <math>i\in\{0,\dotsc,n\}</math>에 대하여, <math>x_i</math>로 정의되는 [[열린집합]]
:<math>U_i=\{\mathfrak p \in \mathbb P_K(a_0,\dotsc,a_n)\colon (x_i) \not\subseteq \mathfrak p \}</math>
은 [[아핀 스킴]]이다.

특히, <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. 그렇다면, <math>U_i</math>에 대응되는 [[가환환]]은 다음과 같다.
:<math>A_i = K[x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc, x_n] / \mu_{a_i}</math>
여기서 <math>\mu_{a_i} = \{\lambda \in K^\times \colon \lambda^{a_i} = 1\}</math>는 [[1의 거듭제곱근]]으로 구성된 [[순환군]]이며, 그 [[군의 작용|작용]]은
:<math>\lambda \cdot x_j = \lambda^{a_j}x_j</math>
이다. 구체적으로, 이 작용은 [[고정점]]을 갖지 않으므로, 이 몫은 [[기하 불변량 이론 몫]]({{llang|en|GIT quotient}})
:<math>A_i = \operatorname{Spec}\left(K[x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc, x_n]^{\mu_{a_i}}\right)</math>
이다. 여기서 <math>R^G</math>는 <math>G</math>의 작용에 불변인 <math>R</math>의 원소들의 [[부분환]]이다.

이 경우, 만약 <math>(a_0,\dotsc,\hat a_i,\dotsc,a_n) \ne (1,\dotsc,1)</math>인 경우, 이는 원점 <math>(x_0,\dotsc,\hat x_i,\dotsc,x_n)=(0,\dotsc,0)</math>에서 [[특이점]]을 갖는다.

== 예 ==
만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) [[사영 공간]]과 같다.
:<math>\mathbb P_K(\underbrace{1,1,\dotsc,1}_{n+1}) = \mathbb P_K^n</math>

0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 [[사영 공간]]과 스킴으로서 동형이다.
:<math>\mathbb P_K(n) \cong \mathbb P_K^0 = \operatorname{Spec}K</math>
1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 [[사영 공간]]과 스킴으로서 동형이다.
:<math>\mathbb P_K(m,n) \cong \mathbb P_K(m,1) \cong \mathbb P_K(1,1) = \mathbb P_K^2</math>

=== ℙ(1,1,''n'') ===
2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 <math>\mathbb P_K(1,1,n)</math>이다. 이는 [[닫힌 몰입]]
:<math>\mathbb P_K(1,1,n) \to \mathbb P_K^{n+1}</math>
:<math>[x:y:z] \mapsto [x^n:x^{n-1}y:y^{n-2}y^2:\dotsb:x^ky^{n-k}:\dotsb:y^n:z]</math>
을 가지며, 이는 사영 대수다양체
:<math>\mathbb P_K(1,1,n) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X_0,X_1,\dotsc,X_n,Y]}{(\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \{0,1,\dotsc,n-1\}\})}</math>
를 이룬다. 이는 좌표 <math>Y</math>에 의존하지 않으므로, [[유리 곡선]] <math>\operatorname{Proj} K[X_0,\dotsc,X_n] / (\{X_{i-1}X_j - X_iX_{j-1} \colon i,j \in \{0,1,\dotsc,n-1\}\})</math> 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 <math>[0:0:\dotsb:0:1]</math>이다.

예를 들어, <math>n=2</math>인 경우
:<math>\mathbb P_K(1,1,2) \to \mathbb P_K^3</math>
:<math>[x:y:z] \mapsto [x^2:xy:y^2:z]</math>
이며, 이는 다음과 같은 [[사영 대수다양체]]와 동형이다.
:<math>\mathbb P_K(1,1,2) \cong \operatorname{Proj} \frac{K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^2)}</math>
이는 3차원 [[사영 공간]] 속의 [[이차 초곡면]]이다.

=== ℙ(1,2,3,…) ===
[[가환환]] <math>K</math>에 대하여, 사영 공간 <math>\mathbb P_K^n = \operatorname{Proj}K[x_0,x_1,\dotsc,x_n]</math>를 생각하자. 그 위에는 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(n+1)</math>이 좌표 <math>(x_0,\dotsc,x_n)</math>에 대한 [[순열]]로 작용한다. 이에 대한 [[기하 불변량 이론 몫]]
:<math>\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)})</math>
을 생각하자. 이 경우, <math>K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}</math>은 다음과 같은 [[기초 대칭 함수]]로 생성된다.
:<math>X_1 = x_0+x_1+\dotsb+x_n</math>
:<math>X_2 = x_0x_1 + x_0x_2 + \dotsb + x_i x_j + \dotsb + x_{n-1}x_n</math>
:<math>\vdots</math>
:<math>X_{n+1} = x_0x_1\dotsm x_n</math>
:<math>\deg X_i = i\qquad(i\in\{1,\dotsc,n+1\})</math>
따라서 이는 가중 사영 공간
:<math>\mathbb P_K^n / \operatorname{Sym}(n+1) = \operatorname{Proj}(K[x_0,\dotsc,x_n]^{\operatorname{Sym}(n+1)}) = \mathbb P_K(1,2,\dotsc,n,n+1)</math>
을 이룬다.

== 역사 ==
이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름({{llang|fr|Charles Delorme}})이 ‘비등방 사영 공간’({{Llang|fr|espace projectif anisotrope}})이라는 이름으로 연구하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Charles|성=Delorme|제목=Espaces projectifs anisotropes|doi=10.24033/bsmf.1802|zbl=0314.14016 |mr=404277|저널= Bulletin de la Société Mathématique de France|권= 103 |날짜=1975|쪽= 203–223 |언어=fr}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/surf/more/grad.pdf | 제목=Graded rings and varieties in weighted projective space | 이름=Miles | 성= Reid | 날짜=2002 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://homepages.warwick.ac.uk/~masda/Unpub/CPR_book/Fletcher.ps | 제목= Working with weighted complete intresections | 성=Iano-Fletcher | 이름=A. R. | 언어=en}}
{{위키데이터 속성 추적}}

[[분류:대수기하학]]