가중 사영 공간

대수기하학에서 가중 사영 공간(加重射影空間, 영어: weighted projective space)은 사영 공간의 개념의 일반화이다. 보통 사영 공간에서 동차 좌표의 무게가 모두 같은 데 반하여, 가중 사영 공간에서는 각 동차 좌표가 서로 다른 무게를 가질 수 있다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 가환환 $K$
• 양의 정수 $a_0,a_1,\dots ,a_n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

그렇다면, 등급환인 가환환

$A=K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$

$\mathrm{deg}{x}_i=a_i$

을 정의할 수 있다. 그 사영 스펙트럼

$\mathrm{Proj}A={\mathbb{P}}_K(a_0,a_1,\dots ,a_n)$

을 무게 $(a_0,a_1,\dots ,a_n)$의 가중 사영 공간이라고 한다. 물론, 이는 정수 계수 가중 사영 공간과 $K$의 곱이다.

${\mathbb{P}}_K(a_0,a_1,\dots ,a_n)={\mathbb{P}}_{\mathbb{Z}}(a_0,a_1,\dots ,a_n)\times K$

즉, 만약 $K$가 체일 때, $K^{\times }$는 $\mathrm{Spec}K[x_0,\dots ,x_n]\setminus \mathrm{Spec}K[x_0,\dots ,x_n]/(x_0,\dots ,x_n)$에 고정점 없이 다음과 같이 작용한다.

$\lambda \cdot x_i={\lambda }^{a_i}{x}_i$

따라서, 이는 다음과 같은 몫으로 표현된다.

${\mathbb{P}}_K(a_0,\dots ,a_n)=\frac{\mathrm{Spec}K[x_0,\dots ,x_n]\setminus \mathrm{Spec}K[x_0,\dots ,x_n]/(x_0,\dots ,x_n)}{{𝔾}_{\mathrm{m}}^K}$

그 닫힌점들의 집합은 다음과 같다.

$\frac{\{(x_0,x_1,\dots ,x_n)\in K^{n+1}\}\setminus \{(0,\dots ,0)\}}{(x_0,\dots ,x_n)\sim ({\lambda }^{a_0}{x}_0,\dots ,{\lambda }^{a_0}{x}_n)\mathrm{\forall }\lambda \in K^{\times }}$

분류

$K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자.

임의의 양의 정수 $b\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 및 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$에 대하여, 다음과 같은 스킴 동형 사상이 존재한다.

$\mathbb{P}(a_0,a_1,\dots ,a_n)\cong \mathbb{P}(d{a}_0,d{a}_1,\dots ,d{a}_{i-1},a_i,d{a}_{i+1},\dots ,d{a}_n)\cong \mathbb{P}(d{a}_0,d{a}_1,\dots ,d{a}_i,\dots ,d{a}_n)$

무게 $(a_0,a_1,\dots ,a_n)$ 가운데, 다음 조건을 만족시키는 것을 잘 만들어진 무게(영어: well formed weights)라고 하자.

임의의 $n$개의 성분들의 최대공약수는 1이다. 즉, 임의의 $i\in \{0,1,\dots ,n\}$에 대하여, $\gcd \{a_0,\dots ,\widehat{a_i},\dots ,a_n\}=1$. (여기서 $\widehat{a_i}$는 $a_i$를 생략하라는 뜻이다.)

따라서, 대수적으로 닫힌 체 위에서, 모든 가중 사영 공간은 잘 만들어진 무게의 가중 사영 공간과 동형이다.

성질

정의에 따라, 가중 사영 공간은 원환 다양체이다. 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 가중 사영 공간은 $K$ 위의 사영 대수다양체를 이룬다.^{:Theorem 4.3.9}

아핀 덮개

가환환 $K$에 대하여, 가중 사영 공간 ${\mathbb{P}}_K(a_0,\dots ,a_i)$는 다음과 같이 $n+1$개의 아핀 스킴으로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 각 $i\in \{0,\dots ,n\}$에 대하여, $x_i$로 정의되는 열린집합

$U_i=\{𝔭\in {\mathbb{P}}_K(a_0,\dots ,a_n):(x_i)\subseteq ̸𝔭\}$

은 아핀 스킴이다.

특히, $K$가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 그렇다면, $U_i$에 대응되는 가환환은 다음과 같다.

$A_i=K[x_0,\dots ,{\hat{x}}_i,\dots ,x_n]/{\mu }_{a_i}$

여기서 ${\mu }_{a_i}=\{\lambda \in K^{\times }:{\lambda }^{a_i}=1\}$는 1의 거듭제곱근으로 구성된 순환군이며, 그 작용은

$\lambda \cdot x_j={\lambda }^{a_j}{x}_j$

이다. 구체적으로, 이 작용은 고정점을 갖지 않으므로, 이 몫은 기하 불변량 이론 몫(영어: GIT quotient)

$A_i=\mathrm{Spec}(K[x_0,\dots ,{\hat{x}}_i,\dots ,x_n{]}^{{\mu }_{a_i}})$

이다. 여기서 $R^G$는 $G$의 작용에 불변인 $R$의 원소들의 부분환이다.

이 경우, 만약 $(a_0,\dots ,{\hat{a}}_i,\dots ,a_n)\ne (1,\dots ,1)$인 경우, 이는 원점 $(x_0,\dots ,{\hat{x}}_i,\dots ,x_n)=(0,\dots ,0)$에서 특이점을 갖는다.

예

만약 모든 무게들이 1이라면, 무게 사영 공간은 (일반) 사영 공간과 같다.

${\mathbb{P}}_K(\underset{n+1}{\underbrace{1,1,\dots ,1}})={\mathbb{P}}_K^n$

0차원 가중 사영 공간은 모두 0차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

${\mathbb{P}}_K(n)\cong {\mathbb{P}}_K^0=\mathrm{Spec}K$

1차원 가중 사영 공간은 모두 1차원 사영 공간과 스킴으로서 동형이다.

${\mathbb{P}}_K(m,n)\cong {\mathbb{P}}_K(m,1)\cong {\mathbb{P}}_K(1,1)={\mathbb{P}}_K^2$

ℙ(1,1,n)

2차원에서는 사영 공간과 동형이 아닌 가중 사영 공간이 존재한다. 그 가운데 가장 간단한 것은 ${\mathbb{P}}_K(1,1,n)$이다. 이는 닫힌 몰입

${\mathbb{P}}_K(1,1,n)\to {\mathbb{P}}_K^{n+1}$

$[x:y:z]\mapsto [x^n:x^{n-1}y:y^{n-2}{y}^2:\cdots :x^k{y}^{n-k}:\cdots :y^n:z]$

을 가지며, 이는 사영 대수다양체

${\mathbb{P}}_K(1,1,n)\cong \mathrm{Proj}\frac{K[X_0,X_1,\dots ,X_n,Y]}{(\{X_{i-1}{X}_j-X_i{X}_{j-1}:i,j\in \{0,1,\dots ,n-1\}\})}$

를 이룬다. 이는 좌표 $Y$에 의존하지 않으므로, 유리 곡선 $\mathrm{Proj}K[X_0,\dots ,X_n]/(\{X_{i-1}{X}_j-X_i{X}_{j-1}:i,j\in \{0,1,\dots ,n-1\}\})$ 위의 뿔을 이루며, 뿔의 꼭짓점은 $[0:0:\cdots :0:1]$이다.

예를 들어, $n=2$인 경우

${\mathbb{P}}_K(1,1,2)\to {\mathbb{P}}_K^3$

$[x:y:z]\mapsto [x^2:xy:y^2:z]$

이며, 이는 다음과 같은 사영 대수다양체와 동형이다.

${\mathbb{P}}_K(1,1,2)\cong \mathrm{Proj}\frac{K[X,Y,Z,W]}{(XZ-Y^2)}$

이는 3차원 사영 공간 속의 이차 초곡면이다.

ℙ(1,2,3,…)

가환환 $K$에 대하여, 사영 공간 ${\mathbb{P}}_K^n=\mathrm{Proj}K[x_0,x_1,\dots ,x_n]$를 생각하자. 그 위에는 대칭군 $\mathrm{Sym}(n+1)$이 좌표 $(x_0,\dots ,x_n)$에 대한 순열로 작용한다. 이에 대한 기하 불변량 이론 몫

${\mathbb{P}}_K^n/\mathrm{Sym}(n+1)=\mathrm{Proj}(K[x_0,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n+1)})$

을 생각하자. 이 경우, $K[x_0,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n+1)}$은 다음과 같은 기초 대칭 함수로 생성된다.

$X_1=x_0+x_1+\cdots +x_n$

$X_2=x_0{x}_1+x_0{x}_2+\cdots +x_i{x}_j+\cdots +x_{n-1}{x}_n$

$⋮$

$X_{n+1}=x_0{x}_1\cdots x_n$

$\mathrm{deg}{X}_i=i(i\in \{1,\dots ,n+1\})$

따라서 이는 가중 사영 공간

${\mathbb{P}}_K^n/\mathrm{Sym}(n+1)=\mathrm{Proj}(K[x_0,\dots ,x_n{]}^{\mathrm{Sym}(n+1)})={\mathbb{P}}_K(1,2,\dots ,n,n+1)$

을 이룬다.

역사

이 개념은 이미 1975년에 샤를 들로름(프랑스어: Charles Delorme)이 ‘비등방 사영 공간’(프랑스어: espace projectif anisotrope)이라는 이름으로 연구하였다.

외부 링크

• Reid, Miles (2002). “Graded rings and varieties in weighted projective space” (PDF) (영어). 
• Iano-Fletcher, A. R. “Working with weighted complete intresections” (영어).