가해 리 대수 문서 원본 보기

[[리 군론]]에서 '''가해 리 대수'''(可解Lie代數, {{llang|en|solvable Lie algebra}})는 유한한 길이의 유도열을 갖는 [[리 대수]]이다.

== 정의 ==
가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.
* 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
* [[체의 표수|표수]] 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
* 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 [[리 군]]이 [[가해군]]인 것이다.

=== 유도열을 통한 정의 ===
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 '''유도열'''(誘導列, {{llang|en|derived series}})은 다음과 같다.
:<math>\mathfrak g=\mathcal D^0\mathfrak g</math>
:<math>\mathcal D^{i+1}\mathfrak g=[\mathcal D^i\mathfrak g,\mathcal D^i\mathfrak g]</math>
:<math>\mathfrak g=\mathcal D^0\mathfrak g\supseteq\mathcal D^1\mathfrak g\supseteq\mathcal D^2\mathfrak g\supseteq\cdots</math>
만약 어떤 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>\mathcal D^n\mathfrak g=0</math>이라면, <math>\mathfrak g</math>를 '''가해 리 대수'''라고 한다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어=en}}</ref>{{rp|31}} (<math>0</math>는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[극대 원소|극대]] 부분 리 대수는 '''[[보렐 부분 대수]]'''({{llang|en|Borel subalgebra}})라고 한다. 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 [[최대 원소|최대]] [[리 대수 아이디얼]]은 '''[[리 대수 근기|근기]]'''라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, [[리 대수 근기|근기]]는 항상 유일하다.)

=== 표현론을 통한 정의 ===
[[체의 표수|표수]] 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 <math>\mathfrak g</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak g</math>는 가해 리 대수이다.
* <math>\mathfrak g</math>의 [[딸림표현]] <math>\operatorname{ad}(\mathfrak g)\subseteq\mathfrak{gl}(\mathfrak g;K)</math>는 가해 리 대수이다.
* <math>[\mathfrak g,\mathfrak g]</math>는 [[멱영 리 대수]]이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|Proposition 1.39}}
* ('''카르탕 가해성 조건''' {{llang|en|Cartan’s criterion for solvability}}) <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]] <math>B</math>가 주어졌을 때, <math>B(\mathfrak g,[\mathfrak g,\mathfrak g])=0</math>이다.

=== 리 군 이론을 통한 정의 ===
<math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 <math>\mathbb K</math>-리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 <math>\mathbb K</math>-[[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* <math>\mathfrak g</math>를 리 대수로 갖는 (유일한) [[단일 연결]] [[리 군]] <math>G</math>는 (군으로서) [[가해군]]이다.
* <math>G_0=G</math>이며, <math>G_{i+1}=\operatorname{cl}([G_i,G_i])</math>라고 하자. 여기서 <math>\operatorname{cl}</math>은 [[폐포 (위상수학)|위상수학적 폐포]]를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, <math>G_i</math>가 [[한원소 집합]]인 자연수 <math>i</math>가 존재한다.
* <math>\mathfrak g</math>는 가해 리 대수이다.
이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 [[리 군]] <math>G</math>의 경우, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>G</math>의 [[연결 성분]] <math>G_0</math>는 (군으로서) [[가해군]]이다.
* <math>G</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{Lie}(G)</math>는 가해 리 대수이다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
임의의 [[가환환]] <math>K</math>에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.
:<math>K</math>-[[아벨 리 대수]] ⊆ <math>K</math>-[[멱영 리 대수]] ⊆ <math>K</math>-가해 리 대수 ⊆ <math>K</math>-[[리 대수]]

=== 연산에 대한 닫힘 ===
리 대수의 [[짧은 완전열]]
:<math>0\to\mathfrak a\to\mathfrak g\to\mathfrak g/\mathfrak a\to0</math>
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>\mathfrak g</math>가 가해 리 대수이다.
* <math>\mathfrak a</math>와 <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math>가 둘 다 가해 리 대수이다.
<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mathfrak g</math> 가해 ⇒  <math>\mathfrak a</math>, <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math> 가해):'''
<div class="mw-collapsible-content">
<math>\mathcal D^n\mathfrak g=0</math>이라고 하자. 그렇다면, <math>\mathcal D^n\mathfrak a\subseteq\mathcal D^n\mathfrak g=0</math>이며, 또한 자연스러운 [[전사 함수]]
:<math>0=\mathcal D^n\mathfrak g\twoheadrightarrow\mathcal D^n(\mathfrak g/\mathfrak a)</math>
에 따라 <math>\mathcal D^n(\mathfrak g/\mathfrak a)=0</math>이다.
</div>
</div>

<div class="mw-collapsible mw-collapsed toccolours">
'''증명 (<math>\mathfrak a</math>, <math>\mathfrak g/\mathfrak a</math> 가해 ⇒ <math>\mathfrak g</math> 가해):'''
<div class="mw-collapsible-content">
충분히 큰 자연수 <math>m,n\in\mathbb N</math>에 대하여
:<math>\mathcal D^m(\mathfrak a)=\mathcal D^n(\mathfrak g/\mathfrak a)=0</math>
라고 하자. 그렇다면, 
:<math>\mathcal D^n(\mathcal g) \subseteq \mathfrak a</math>
이므로,
:<math>\mathcal D^{m+n}(\mathcal g)\subseteq\mathcal D^m\mathcal a=0</math>
이다.
</div>
</div>
즉,
* 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
* 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

== 분류 ==
'''리 정리'''({{llang|en|Lie’s theorem}})에 따르면, [[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math> 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 <math>n</math>에 대하여 <math>\mathfrak b(n;K)</math>의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

== 예 ==
체 <math>K</math>에 대하여, <math>\mathfrak b(n;K)</math>가 모든 <math>n\times n</math> [[상삼각 행렬]]로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

== 역사 ==
리 정리는 [[소푸스 리]]가 1876년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용 | last1=Lie | first1=Sophus | author1-link=소푸스 리 | title=Theorie der Transformationsgruppen (Abhandlung Ⅱ) | url=https://archive.org/stream/archivformathem02sarsgoog#page/n166/mode/2up | year=1876 | journal=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab | volume=1 | pages=152–193 | 언어=de}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[킬링 형식]]
* [[해다양체]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Lie algebra, solvable}}
* {{eom|title=Lie group, solvable}}
* {{eom|title=Lie theorem}}
* {{매스월드|id=SolvableLieAlgebra|title=Solvable Lie algebra}}
* {{매스월드|id=SolvableLieGroup|title=Solvable Lie group}}
* {{매스월드|id=LieAlgebraCommutatorSeries|title=LieAlgebraCommutatorSeries}}
* {{웹 인용 | url=https://amathew.wordpress.com/2009/07/26/lies-theorem-i/ | 제목=Lie's Theorem I | 이름=Akhil | 성=Mathew | 웹사이트=Climbing Mount Bourbaki | 날짜=2009-07-26 | 언어=en | 확인날짜=2017-09-21 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170922002617/https://amathew.wordpress.com/2009/07/26/lies-theorem-i/ | 보존날짜=2017-09-22 | url-status=dead }}
* {{웹 인용 | url=https://amathew.wordpress.com/2009/07/27/lies-theorem-ii/ | 제목=Lie's Theorem II | 이름=Akhil | 성=Mathew | 웹사이트=Climbing Mount Bourbaki | 날짜=2009-07-27 | 언어=en | 확인날짜=2017-09-21 | 보존url=https://web.archive.org/web/20170922002810/https://amathew.wordpress.com/2009/07/27/lies-theorem-ii/ | 보존날짜=2017-09-22 | url-status=dead }}

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