가해 리 대수

리 군론에서 가해 리 대수(可解Lie代數, 영어: solvable Lie algebra)는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.

정의

가해 리 대수의 개념은 다양하게 정의된다.

• 일반적으로, 가해 리 대수는 유한한 길이의 유도열을 갖는 리 대수이다.
• 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수의 개념은 리 대수 표현론을 사용하여 정의될 수 있다.
• 실수체 또는 복소수체 위의 유한 차원 리 대수의 경우, 리 대수가 가해 리 대수일 조건은 대응하는 리 군이 가해군인 것이다.

유도열을 통한 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$의 유도열(誘導列, 영어: derived series)은 다음과 같다.

$𝔤={𝒟}^0𝔤$

${𝒟}^{i+1}𝔤=[{𝒟}^i𝔤,{𝒟}^i𝔤]$

$𝔤={𝒟}^0𝔤\supseteq {𝒟}^1𝔤\supseteq {𝒟}^2𝔤\supseteq \cdots$

만약 어떤 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여 ${𝒟}^n𝔤=0$이라면, $𝔤$를 가해 리 대수라고 한다.^:31 ($0$는 유일한 0차원 리 대수이다.)

리 대수 $𝔤$의 극대 부분 리 대수는 보렐 부분 대수(영어: Borel subalgebra)라고 한다. 리 대수 $𝔤$의 최대 리 대수 아이디얼은 근기라고 한다. (보렐 부분 대수는 일반적으로 유일하지 않지만, 근기는 항상 유일하다.)

표현론을 통한 정의

표수 0인 체 위의 유한 차원 리 대수 $𝔤$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $𝔤$는 가해 리 대수이다.
• $𝔤$의 딸림표현 $\mathrm{ad}(𝔤)\subseteq 𝔤𝔩(𝔤;K)$는 가해 리 대수이다.
• $[𝔤,𝔤]$는 멱영 리 대수이다.^{:Proposition 1.39}
• (카르탕 가해성 조건 영어: Cartan’s criterion for solvability) $𝔤$의 킬링 형식 $B$가 주어졌을 때, $B(𝔤,[𝔤,𝔤])=0$이다.

리 군 이론을 통한 정의

$𝕂\in \{ℝ,ℂ\}$라고 하자. 그렇다면, 유한 차원 $𝕂$-리 대수의 경우 가해성은 다음과 같이 정의될 수 있다.

유한 차원 $𝕂$-리 대수 $𝔤$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $𝔤$를 리 대수로 갖는 (유일한) 단일 연결 리 군 $G$는 (군으로서) 가해군이다.
• $G_0=G$이며, $G_{i+1}=\mathrm{cl}([G_i,G_i])$라고 하자. 여기서 $\mathrm{cl}$은 위상수학적 폐포를 뜻한다. 그렇다면 이 열은 유한하다. 즉, $G_i$가 한원소 집합인 자연수 $i$가 존재한다.
• $𝔤$는 가해 리 대수이다.

이 경우, 위와 같이 "폐포를 취한 유도열"은 리 대수의 유도열에 대응한다.

연결 리 군이 아닌 리 군 $G$의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $G$의 연결 성분 $G_0$는 (군으로서) 가해군이다.
• $G$의 리 대수 $\mathrm{Lie}(G)$는 가해 리 대수이다.

성질

함의 관계

임의의 가환환 $K$에 대하여, 다음 포함 관계가 (정의에 따라) 성립한다.

$K$-아벨 리 대수 ⊆ $K$-멱영 리 대수 ⊆ $K$-가해 리 대수 ⊆ $K$-리 대수

연산에 대한 닫힘

리 대수의 짧은 완전열

$0\to 𝔞\to 𝔤\to 𝔤/𝔞\to 0$

이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $𝔤$가 가해 리 대수이다.
• $𝔞$와 $𝔤/𝔞$가 둘 다 가해 리 대수이다.

증명 ($𝔤$ 가해 ⇒ $𝔞$, $𝔤/𝔞$ 가해):

${𝒟}^n𝔤=0$이라고 하자. 그렇다면, ${𝒟}^n𝔞\subseteq {𝒟}^n𝔤=0$이며, 또한 자연스러운 전사 함수

$0={𝒟}^n𝔤\twoheadrightarrow {𝒟}^n(𝔤/𝔞)$

에 따라 ${𝒟}^n(𝔤/𝔞)=0$이다.

증명 ($𝔞$, $𝔤/𝔞$ 가해 ⇒ $𝔤$ 가해):

충분히 큰 자연수 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여

${𝒟}^m(𝔞)={𝒟}^n(𝔤/𝔞)=0$

라고 하자. 그렇다면,

${𝒟}^n(ℊ)\subseteq 𝔞$

이므로,

${𝒟}^{m+n}(ℊ)\subseteq {𝒟}^m𝒶=0$

이다.

즉,

• 가해 리 대수의 아이디얼은 가해 리 대수이다.
• 가해 리 대수의 몫은 가해 리 대수이다.
• 가해 리 대수의, 가해 리 대수에 대한 확대는 가해 리 대수이다.

분류

리 정리(영어: Lie’s theorem)에 따르면, 표수 0의 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 모든 유한 차원 가해 리 대수는 충분히 큰 $n$에 대하여 $𝔟(n;K)$의 부분 대수로 나타낼 수 있다. (이 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.)

예

체 $K$에 대하여, $𝔟(n;K)$가 모든 $n\times n$ 상삼각 행렬로 구성된 리 대수라고 하자. 이는 가해 리 대수를 이룬다.

역사

리 정리는 소푸스 리가 1876년에 증명하였다.

같이 보기

• 킬링 형식
• 해다양체

외부 링크

• “Lie algebra, solvable” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie group, solvable” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Lie theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie algebra” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Solvable Lie group” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “LieAlgebraCommutatorSeries” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Mathew, Akhil (2009년 7월 26일). “Lie's Theorem I” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함. 
• Mathew, Akhil (2009년 7월 27일). “Lie's Theorem II” (영어). 《Climbing Mount Bourbaki》. 2017년 9월 22일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 9월 21일에 확인함.